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Zweites Newtonsches Axiom

Anschaulich

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Kurzfassung｜ Formeln｜ Rechenbeispiel｜ Deutungen｜ Newton im Jahr 1687｜ Die Beschleunigung a｜ Die Kraft F｜ Die Masse m｜ Tipps｜ Überprüfung｜ Resultierende Kraft｜ Äußere Kräfte｜ Einheiten｜ Axiom｜ Fußnoten


Kurzfassung


F=m·a heißt: die resultierende Kraft aller von außen auf einen Körper einwirkenden Kräfte ist gleich dem Produkt aus der Masse des Körpers und seiner Beschleunigung. Das ist das zweite newtonsche Axiom, auch Aktionsprinzip oder lex secunda genannt. Es werden erst kurz die wichtigen Formeln dazu vorgestellt. Dann wird das Axiom von verschiedenen Standpunkten aus betrachtet, wodurch besser ein anschauliches und intuitives Verständnis der Bedeutung erwachsen kann.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Mit nur 10 Sekunden Beschleunigung konnte das Raumschiff gut 30 m/s oder gut 100 km/h erreichen. © Paolo Nespoli (NASA) ☛


Formeln


  • F = m·a
  • F = Δp/Δt

Legende

  • F = (Resultierende) Kraft, die von außen auf einen Körper der Masse m einwirkt Resultierende ↗
  • m = Masse eines Körpers, auf den von außen die resultierende Kraft F einwirkt Masse ↗
  • a = Beschleunigung mit der dieser Körper schneller oder langsamer wird Beschleunigung ↗
  • Δt = die Zeit der Wirkung von F, die Dauer ↗

Rechenbeispiel


Gegeben

  • m: ein kleiner Wagen auf einem Tisch habe eine Masse von 5 Kilogramm.
  • a: für ein Tischexperiment will man den Wagen mit 0,2 m/s² beschleunigen.

Rechnung

  • F = m·a | einsetzen:
  • F = 5 kg · 0,2 m/s²
  • F = 1 Newton

Deutungen


Newton im Jahr 1687


Das zweite Newtonsche Axiom stellt den Abschluss einer über fast 2000 Jahre sich hinziehenden und oft sehr scharfsinnig betriebenen Suche nach den Gründen für die Änderungen von Bewegungen.[2] Die von Isaac Newton um 1686 gewählte Formulierung brachte diese Entwicklung zu einem vorläufigen Abschluss. Sie ist die auch heute noch gültige Version für die klassische Physik.

ZITAT:

Newton, 1687: "Die Änderung der Bewegung ist proportional zur ausgeübten bewegenden Kraft, und sie folgt der geraden Linie in welcher die Kraft wirkt."[3]

Newton veröffentlichte seine Gedanken im Jahr 1687 zunächst nur auf Latein[4], der einzigen zu seiner Zeit üblichen in ganz West-Europa unter Wissenschaftlern bekannten Sprache. Erst 1729 wurde das entsprechende Buch auch ins Englische übersetzt[5] und 1872 auch ins Deutsche[6]. Einen geschichtlichen Hintergrund deuten etwa Ludwig XIV, der Sonnenkönig mit seinem Schloss in Versailles, die beginnende Kolonisierung Nord-Amerikas durch europäische Auswanderer oder auch die Verbrennung von lebenden Menschen als Hexen an in West-Europa.

Was Newton als "Änderung der Bewegung" bezeichnet, fassen wir in der heutigen Formelsprache wahlweise als die Beschleunigung a oder die Änderung Δ (Delta für Differenz) des Impulses p auf. Der Impuls steht für das Produkt aus der Masse m und der Geschwindigkeit v. Über die Geschwindigkeit v kommt also auch in der Version mit dem Impuls die Bewegung mit ins Spiel. Betrachten wir nun verschiedene Aspekte, wie man Newtons Gesetz anschaulich verstehen kann.

Die Beschleunigung a


Newtons Formulierung, dass, die Änderung der Bewegung proportional zur ausgeübten bewegenden Kraft ist[3] stellt die Beschleunigung a in der Vordergrund der Betrachtung. Formelmäßig heißt das zum Beispiel:

  • a = F/m

Der Querstrich soll hier ein Bruchstrich sein, der rechnerisch wie ein Geteiltzeichen wirkt. Betrachten wir die Masse m als konstant, dann erkennt man aus der Formel, dass eine Verdopplung der Kraft F immer auch zu einer Verdopplung der Beschleunigung a führen würde. Genau das ist die Kernidee der Proportionalität.[7] Man kann für diese Beziehung verschiedene sprachliche Beschreibungen wählen. Sie führen immer auch zu denselben Ergebnissen:

  • Wenn man vier mal so viel Kraft in Newton ausübt wie ein Körper in kg wiegt, dann erzielt man damit eine Beschleunigung von 4 m/s².
  • Die Beschleunigung ist proportional zur Kraft auf die zu beschleunigende Masse.
  • Die Beschleunigung ist gleich dem Verhältnis von Kraft zu Masse.
  • Doppelte Kraft, doppelte Beschleunigung

Die Beschleunigung a selbst gibt an, um wie viele m/s ein Körper seine Geschwindigkeit in jeder Sekunde ändern würde, wenn die Beschleunigung immer gleich groß wäre.[8] Machen wir dazu ein Gedankenexperiment, mit welchen realistischen Kräften man welche Beschleunigungen und damit auch welche Geschwindigkeiten nach einer bestimmten Zeit erreichen kann.

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Ein Astronaut trägt einen Raumanzug mit Düsen zur eigenen Fortbewegung im Weltraum. Typische Antriebskräfte für solche Raumanzüge liegen bei zum Beispiel 14,4 Newton.[9] Angenommen, ein Astronaut würde damit auf einer Baustelle in der Schwerelosigkeit des Weltraums einen Eisenträger von etwa 50 Kilogramm Masse anschieben wollen, dann käme er damit auf eine Beschleunigung von etwa 0,3 m/s². Das hieße, das Bauteil wäre nach 4 Sekunden Anschieben immerhin schon über einen Meter pro Sekunde schnell.

Die Kraft F


In der heute üblichen Formulierung von Newtons zweitem Axiom steht meist die Kraft F alleine auf einer Seite der Gleichung. Damit stellt man die Kraft mehr in den Vordergrund der Betrachtung.

  • F = m·a

Auch diese Version der Formel kann man wieder auf verschiedene Weisen sprachlich umschreiben. Die sprachliche Umschreibung führt oft zu einem weiteren und tieferen Verständnis der physikalischen Prinzipien als die rein mathematisch-symbolische Darstellung.

  • Möchte man für einen Körper mit einer Masse von 4 kg eine Beschleunigung von 2 m/s² erreichen, ihn also jede Sekunde um 2 m/s schneller machen, dann braucht man dazu einen Kraft von 8 Newton F=ma ↗
  • Verdoppelt man die Masse m eines Körpers, um damit auf die gewünschte Beschleunigung a zu kommen, dann benötigt man auch doppelt so viel Kraft dazu. Masse und Kraft sind zueinander proportional ↗
  • Möchte man einen Körper einer bestimmten Masse m doppelt so stark beschleunigen wie vorher, dann benötigt man auch doppelt so viel Kraft dazu. Beschleunigung und Kraft sind zueinander proportional ↗

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Angenommen, man hat für einen Tischversuch einen kleinen Wagen, der beladen mit Sand insgesamt 5 Kilogramm auf die Waage bringt. Wenn man diesen Wagen dann mit einer Beschleunigung von gleichmäßig immer 20 cm/s² oder 0,2 m/s² beschleunigen möchte, dann bräuchte man dafür eine Kraft von 1 Newton.[10]

Die Masse m


Einen besonderen Reiz hat es, die Masse m des beschleunigten Körpers über die Umstellung der Formel F=ma zu betrachten. Stellt man die Formel um nach der Masse m, so erhält man:

  • m = F/a

Fassen wir diese Version von Newtons zweitem Axiom zunächst wieder sprachlich in einfachen Worte. Um zu einem tieferen Verständnis zu gelangen, ist es immer gut, selbst weitere solche Versprachlichungen zu finden.

  • Die Masse eines Körpers sagt, wie viel mal so viele Newton Kraft man braucht, wie man m/s² an Beschleunigung dafür am Ende bekommt.
  • Ist die benötigte Kraft F in Newton genau 7 mal so groß wie die damit erreichte Beschleunigung a in m/s², dann hat der so beschleunigte Körper eine Masse von genau 7 Kilogramm.
  • Masse ist das Verhältnis von Kraft zu Beschleunigung: je mehr Kraft man braucht, um einen Körper auf einer bestimmte Beschleunigung zu halten, desto mehr Masse muss er haben.
  • Die Masse eines Körpes und die genau passende Kraft, diesen Körper auf einer bestimmten Beschleunigung zu halten, sind zueinander proportional ↗
  • Die Masse eines Körpers und die Beschleunigung, die man mit einer festen Kraft erreichen kann, sind zueinander umgekehrt proportional ↗
  • Wenn zwei Körper mit derselben Kraft in derselben Zeit auf dieselbe Endgeschwindigkeit gebracht werden können, haben sie dieselbe Masse[11] ↗

Betrachtet man die Masse als das bloße Verhältnis von der Kraft die man braucht, um einen Gegenstand mit einer bestimmten Beschleunigung a in seiner Geschwindigkeit zu verändern, dann hat man einen Weg, die Masse so zu definieren, dass man ganz ohne die Idee einer "Menge an Materie" oder einer "Kilogrammzahl" auskommt. Tatsächlich werden Masse oder Materie heute von vielen Wissenschaftlern genau so und nur so definiert.[12]

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Weiß man, dass man zur Beschleunigung eines Körpes 10 mal so viele Newton benötigt wie die damit erreichte Beschleunigung in m/s² am Ende ist, dann kann man sagen, dass der Körper eine Masse von 10 kg hat.

Tipps


F=ma oder F=m·a ist die übliche Weise, die das zweite Newtonsche Axiom als Formel formuliert wird. Durch Äquivalenzumformungen kann die Formel aber auch umgestellt werden nach der Masse m oder der Beschleunigung a. Siehe auch Formeln umstellen ↗

Überprüfung


Die modernen Naturwissenschaften verdanken ihren großen Erfolg sehr vielen über die Jahrhunderte bewährten Methoden und Gepflogenheiten. Eine davon ist es, dass die Ergebnisse von Experimenten und die Aussagen von Gesetzen und Formeln zumindest in der Theorie durch jedermann überprüfbar bei sein sollten. Wie könnte man die Gültigkeit von F=ma überprüfen? Dazu hier ein Vorschlag, der mit sehr einfachen Mitteln umgesetzt werden kann. Man benötigt:

  • Ein Wägelchen, idealerweise auf Schienen, z. B. von Duplo ↗
  • Eine Kamera etwa von einem Handy.

Wenn man ein Wägelchen mit einer Gesamtmasse von etwa 5 Kilogramm über einen Federkraftmesser mit einer konstanten Kraft von 2 Newton in eine Richtung zieht, dann sollte es nach zwei Sekunden eine Geschwindigkeit von 0,4 m/s haben. Die bis dahin zurückgelegte Strecke wären dann 1,8 Meter. Das kann man einigermaßen gut auf einem langen Tisch nachstellen. Der Versuch ist detailliert beschrieben unter F=ma (Tischversuch) ↗

Resultierende Kraft


Man stelle sich eine Metallkugel in einem ansonsten leeren Weltraum vor. Nun drücken zwei Finger von außen gegen den Stein: Sie drücken beide in entgegengesetze Richtungen genau auf die Kugelmitte zu. Die zwei Kräfte heben sich bezüglich einer Bewegung der Kugel gegenseitig auf. Es gibt also keine Beschleunigung. Man darf also keine der zwei Kräfte direkt in die Formel F=m·a einsetzen. Man muss zuvor alle Kräfte vektoriell addieren. Das Ergebnis der Vektoraddition aller Kräfte ist die sogenannte Resultierende. Nur sie wird in die Formel F=ma eingesetzt. Lies mehr unter Resultierende ↗

Äußere Kräfte


Eine Hohlkugel könnte von innen mit Gas gefüllt sein, das auf die Kugelwand drückt. Solche Kräfte dürfen nicht berücksichtigt werden. Vor allem aber darf die Trägheitskraft nicht mit zur Bildung der Kräftesumme eingesetzt werden: wird ein Körper beschleunigt (oder abgremst), dann scheint von ihm eine Kraft auszugehen, die der Geschwindigkeitsänderung entgegenwirkt (Trägheit). Diese Kraft nennt man auch eine innere Kraft. Für die Formel F=ma dürfen aber nur äußere Kräfte berücksichtigt werden.

Einheiten


Setzt man in eine Formel ausschließlich Werte mit ihren SI-Einheiten ein, so wird das Ergebnis immer auch nur eine Angabe in SI-Einheiten sein. Setzt man also zum Beispiel in F=ma die Masse in kg und die Beschleunigung in m/s² ein, so kann man sicher sein, dass das richtige Ergebnis eine Kraft in Newton sein wird. Siehe mehr unter SI-Einheiten ↗

Axiom


Man spricht heute von einem Axiom Newtons. Ein Axiom ist eine willkürliche Annahme, die man im Prinzip auch aus der freien Luft treffen kann. Hat man einmal ein Axiom festgelegt, darf aber kein korrekt daraus gefolgerter Schluss zu einer falschen Aussage führen. Newtons zweites Gesetzt war ein solches Axiom, das sich aber schon sehr schnell als sehr robust und nüztlich erwies. Siehe mehr zur Theorie wissenschaftlichen Denkens im Artikel Axiom ↗

Fußnoten


  • [1] Jürgen Teichmann: Wandel des Weltbildes. Astronomie, Physik und Meßtechnik in der Kulturgeschichte. Mit Beiträgen von Volker Bialas und Felix Schmeidler. Wissenschaftliche Buchgesellschaft. Darmstadt. Dort die Seite 145. für die physikalische Deutung, für die philosophische Wirkung auch die Seite 268.
  • [2] In der Antike ging man davon aus, dass Bewegung ständig etwas verbrauche, und wenn der Vorrat dieses bewegenden Etwas aufgebraucht ist, von alleine zur Ruhe kommt. Das entspricht auch ganz der Erfahrung im Alltag: egal was man als Mensch anstößt, nach einiger Zeit kommt es wieder zur Ruhe, ganz so, als ob es den anstoßenden Schubs mit der Zeit aufgebraucht hätte. Ausgenommen davon war zumindest in der europäischen Naturphilosophie lediglich die Bewegung der Gestirne. Doch diese dachte man sich in Bereichen angesiedelt, in denen die "irdischen" Gesetze nicht gelten. Doch übe die Jahrhunderte mehrten sich die Zweifel, zum Beispiel unter arabischen und auch westeuropäischen Wissenschaftlern. Die Geschichte der Idee von der Trägheit der Masse ist weiter behandelt im Artikel zur Geschichte der Impetustheorie ↗
  • [3] Die deutsche Version stammt von mir, Gunter Heim, übersetzt im Mai 2025.
  • [4] Das zweite Newtonsche Axiom im lateinischen Original: "Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressæ, & fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.” In: Isaac Newton, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Buch I, Axiome sive Leges Motus, Lex II (Londini: Joseph Streater, 1687), p. 16.
  • [5] Das zweite Newtonsche Axiom im englischen Original: "The change of motion is proportional to the motive force impressed; and is made in the direction of the right line in which that force is impressed.” In: Isaac Newton, The Mathematical Principles of Natural Philosophy, übers. Andrew Motte (London: B. Motte, 1729), Book I, Laws of Motion, Law II, p. 17.
  • [6] Die Principia in ihrer ersten Übersetzung ins Deutsche: Sir Isaac Newton’s Mathematische Principien der Naturlehre – Mit Bemerkungen und Erläuterungen herausgegeben von Prof. Dr. J. Ph. Wolfers. R. Oppenheim, Berlin 1872.
  • [7] Zwei Größen sind zueinander proportional, wenn eine Verdopplung der einen Größen immer auch zu einer Verdopplung der anderen Größe führt, ganz gleich bei welchen Werten der Beziehung man diese Betrachtung beginnt. Wenn der Preis und die Anzahl von Äpfeln zueinander proportional sind, dann gilt: wenn man doppelt so viele Äpfel kaufen will, dann muss man auch doppelt so viel beziehen. Siehe mehr zu diesem mathematischen Hintergrund im Artikel zur Proportionalität ↗
  • [8] Eine anschauliche Erklärung zur Beschleunigung a und wie man sich die Einheit m/s² verständlich machen kann, gibt der Artikel Beschleunigung ↗
  • [9] "There are 24 thrusters placed to match the location and orientation of the thrusters on the SAFER system. Each thruster has a nominal thrust of 0.8 lbf (3.6 N) and a nominal ow rate of 0.006 lb/s(0.003 kg/s)." Die Angaben beziehen sich auf einen Raumanzug für Außenbordeinsätze, ein sogenanntes "Jetpack". Vier Düsen (thruster) arbeiten jeweils für den Vortrieb zusammen, womit man auf eine maximale Schubkraft in eine Richtung von 14,4 Newton kommt: "For the modeled Jetpack, just like the actual SAFER unit, four thrusters are used for translation maneuvers in each axis and two thrusters are used for roll, pitch or yaw maneuvers." Und zum spezifischen Impuls heißt es: "The SAFER utilizes compressednitrogen corresponding to a thruster specific impulse Isp of 72 s, while the simulation model assumes the use of a TridyneTM gas mixture that can achieve an Isp of 135 s." In: Todd F. Sheerin: Design and Utility Assessment of Attitude Control Systems for EVA Task Performance. Harvard University. Submitted to the Department of Aeronautics and Astronauticson August 20, 2015, in partial fulfillment of the requirements for the degree ofMaster of Science. 2015. Siehe auch Schubkraft ↗
  • [10] Das Gedankenexperiment mit dem Sandwagen kann man leicht auch selbst überprüfen: wenn man den Wagen so zieht, dass man auf eine Beschleunigung a von konstant 0,2 m/s² kommt, dann käme man nach der Formel s=½at² nach einer Beschleunigungsdauer von 4 Sekunden auf eine dann zurückgelegte Strecke von 1,6 Metern. Die Endgeschwindigkeit wäre dann nach v=at genau 0,8 m/s. Diese Werte kann man mit einem einfachen Tisch-Experiment mit Hilfe von einem Kraftmesser und einer Auswertung eines Video-Films nachprüfen und damit die Gültigkeit der Formel selbst einschätzen.
  • [11] In einem Lexikon aus dem Jahr 1861 wird Masse unter anderem über seine Trägheit definiert: "Masse, 1) die Quantität von Materie, aus welcher ein Körper zusammengesetzt ist. Sie wirt nach der Größe seines Beharrungsvermögens gemessen; demnach haben zwei Körper gleiche M. wenn sie durch statisch einander gleiche Kräfte in gleiche Geschwindigkeiten versetzt werden. Wenn dagegen, um zwei Körper in gleiche Geschwindigkeiten zu versetzen, bei dem einen eine m mal größere Kraft erfordert wird, als bei dem andern, so sagt man, der eine hat eine m mal größere M. als der andere, od. das Verhältniß ihrer M-n ist = m: 1. Hieraus u. aus dem Umstande, daß an det Erdoberfläche alle Körper gleich schnell fallen, folgt, daß die M. eines Körpers stets seinem Gewichte proportional ist. Schätzt man eine stetige Kraft blos nach der von ihr bewirkten Geschwindigkeit, so nennt man sie eine beschleunigende Kraft; schätzt man sie aber auch zugleich nach der von ihr bewegten M., eine bewegende Kraft. Das Verhältniß der bewegenden Kräfte ist demnach aus dem Verhältnisse der Geschwindigkeiten, d.i. der beschleunigenden Kräfte, u. aus dem der M. zusammengesetzt;" Zu dieser Definition der Masse aus dem Jahr 1860 muss kritisch angemerkt werden: es fehlt der Bezug auf die Zeit, in der zwei Körper auf eine bestimmte Geschwindigkeit gebracht werden. Die korrekte Definition wäre: "zwei Körper haben dieselbe Masse, wenn sie mit derselben Kraft in derselben Zeit auf die dieselbe Geschwindigkeit gebracht werden können. In: Pierer's Universal-Lexikon, Band 10. Altenburg 1860, S. 949. Siehe auch Masse ↗
  • [12] Dass der Begriff der Masse als Menge an Substanz schwierig ist, aber auch die Newtonsche Interpretation der Masse als Maß für die Trägheit nicht ohne metaphysische Voraussetzungen auskommt wird ausgesagt in dem Zitat: “I analyze the meaning of mass in Newtonian mechanics. First, I explain the notion of primitive ontology, which was originally introduced in the philosophy of quantum mechanics. Then I examine the two common interpretations of mass: mass as a measure of the quantity of matter and mass as a dynamical property. I claim that the former is ill-defined, and the latter is only plausible with respect to a metaphysical interpretation of laws of nature.” Sowie am Ende des Artikels: "It [...] became clear
that mass has to be interpreted as a dynamical entity introduced by Newton’s laws of motion" In: Mario Hubert, Quantity of Matter or Intrinsic Property: Why Mass Cannot Be Both, arXiv:1512.03295 [physics.hist-ph] (10 December 2015). PDF freely available at https://arxiv.org/pdf/1512.03295.pdf