Impuls

p = m·v

Grundidee｜ Fakten und Formeln｜ Impuls als Menge an Bewegung｜ Impuls als Kraftstoß｜ Bahndrehimpuls｜ Eigendrehimpuls｜ Spin｜ Photonenimpuls｜ Feldimpuls｜ Relativistischer Impuls｜ Unterschied zur kinetischen Energie｜ Fußnoten

Grundidee

Die Gleichung zur Berechnung des Impulses p ist recht simpel: p = mv. Dabei ist p der Impuls, m die Masse des betrachteten Körpers und v dessen Geschwindigkeit. Wenn ein typischer Apfel mit zum Beispiel 0,4 Kilogramm Masse so schnell durch die Luft fliegt, wie ein gemächlicher Radfahrer schnell ist (18 km/h ≙ 5 m/s), dann hat er einen Impuls von 2 Ns. Hinter dieser scheinbar einfachen Berechenbarkeit steht jedoch ein historisch über 2000 Jahre mühsam ersonnenes Konzept, das auch gestandene Physiker noch ins Grübeln bringen kann.^[4]

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Man sieht eine Space Shuttle beim Start.☛

Fakten und Formeln

FAKTEN

Das übliche Formelzeichen ist p als 👉 kleines p

Die übliche Einheit ist die Ns als 👉 Newtonsekunde

Alles was Masse (kg) hat, kann Impuls haben.

Nicht alles, was Impuls hat, muss Masse haben.

Eine Impulsänderung benötigt immer eine Kraft.

Nicht jede Kraft führt zu einer Impulsänderung.

Der Impuls ist eine der 👉 Erhaltungsgrößen

Der Impuls ist eine 👉 Vektorgröße

FORMELN

p = mv [Grundformel]

p = F·Δt 👉 Kraftstoß

F = dp:dt 👉 Zweites Newtonsches Axiom

λ = h/p 👉 de-Broglie-Wellenlänge

J = L/ω 👉 Eigendrehimpuls

L = m·r·v 👉 Bahndrehimpuls

Impuls als Menge an Bewegung

Lange Geschichte, Impetustheorie

Der Begriff des Impulses hat eine sehr viele Jahrhunderte lange und wissenschaftshistorisch sehr aufschlussreiche Geschichte des Werdens. Von den ersten Anfängen in der antike bildete sich mühsam über viele Jahrhunderte und unter der Mitwirkung vieler Kulturen langsam der heutige Impulsbegriff heraus. Isaac Newton gab dem Impuls dann die Bedeutung, den er auch noch heute hat. Newtons Vorstellung vom Impuls ist bestechend anschaulich. Newton fasst den Impuls im Prinzip als die Menge an Bewegung auf, die einem Körper innewohnt. Diese Deutung hat sich bis heute gehalten:

ZITAT:

Isaac Newton, 17. Jh.: "Die Bewegung (motion) des Ganzes ist die Summe der Bewegungen all seiner Teile. So hat ein Körper der doppelten Masse (quantity), gleiche Geschwindigkeit vorausgesetzt, auch die doppelte Bewegung; mit der doppelten Geschwindigkeit hätte er vier mal so viel Bewegung."^[1]

ZITAT:

Franz Serafin Exner, 1919: "Setzt eine Kraft eine Masse in Bewegung, so hat das im allgemeinen einen doppelten Effekt: es müssen auf dem Wege irgendwelche äußere Widerstände überwunden werden, wie z. B. Reibung, Luftwiderstand u. dgl. und anderseits erhält der Körper eine Geschwindigkeit, d. h. seine Bewegungsgröße wurde verändert."^[2]

ZITAT:

Christian Gerthsen, 1966: "Das Produkt aus der Masse m eines Massenpunktes und seiner Geschwindigkeit u ergibt einen Vektor, den man als Impuls oder Bewegungsgröße (J) bezeichnet."^[3]

Menge an Bewegung passt zur Intuition

^[2] Die Idee einer Menge an Bewegung passt gut zu unserer intuitiven Vorstellungen von Wucht oder Schwung. Wenn von zwei gleich schnellen Körpern der eine Körper doppelt so viel Masse hat wie der andere, dann würde das Gefühl leicht zustimmen, dass in ihm auch doppelt so viel Bewegung sei. Und wenn von zwei gleich schweren Körper der eine die doppelte Geschwindigkeit des anderen hätte, dann würde man dem doppelt so schnellen Körper auch die doppelte Menge an Bewegung zugestehen.

Proportionalitäten

Man kann die Idee vom Impuls als Bewegungsgröße, wie oben dargelegt, gut über ein Denken in Proportionalitäten erfassen. Wenn man das eine verdoppelt, verdoppelt sich auch das andere.

Macht man einen bewegten Körper doppelt so schnell, dann hat er hinterher auch doppelt so viel Impuls.

Macht man einen bewegten Körper doppelt so schwer, dann hat er hinterher auch doppelt so viel Impuls.

Ceteris paribus

Natürlich gilt bei diesen kurzen Merksätzen, dass nur die eine Größe (Geschwindigkeit oder Masse) verändert wird, während die andere Größe dann als unverändert, also konstant, gedacht wird. Dieses Prinzip, dass man bei gedanklichen Analysen physikalischer Zusammenhänge nur eine Größe verändert, und alle anderen gleich lässt, bezeichnet man als Prinzip des 👉 Ceteris paribus

Eine unpassende Einheit

Wenn nun der Impuls rechnerisch das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit ist, dann könnte man daraus als Einheit kg·m/s ableiten, also Kilogramm mal Meter durch Sekunde. (Der Querstrich / steht hier für ein Geteiltzeichen oder einen Bruchstrich.) Rechnerisch kann man das machen und wird damit beim Arbeiten mit Formeln auch immer das richtige Zahlenergebnis erhalten. Aber tatsächlich hat sich als Einheit des Impulses die sogenannte Newtonsekunde N·s oder kurz Ns durchgesetzt. Beide Darstellung können aber durch die Beschleunigung als koppelnder Term über eine Substitution ineinander umgeformt werden.

kg·m/s | mit v=at gilt auch: m/s = (m/s²)·s

kg·(m/s²)·s | mit ma=F gilt: N = kg·m/s²

N·s ✓

Welche Berechtigung die Newtonsekunde Ns als Einheit des Impulses hat, wird sich weiter unten zeigen. Dort wird der Impuls dann als ein sogenannter Kraftstoß gedeutet. Und genau von diesem Kommt dann die Idee der Newtonsekunde.

Impuls als Kraftstoß

Änderung des Impulses

Eine zweite anschauliche Deutung des Impulses geht über den sogenannten Kraftstoß. Ein Kraftstoß ist das, was einen Impuls verändern kann. Als Kraftstoß bezeichnet man das Produkt aus Kraft F und der Zeit t, über die hinweg diese Kraft wirkte. Ein starker Kraftstoß übergibt viel Impuls auf einen Körper, ein schwacher Kraftstoß entsprechend weniger. Auch hier kann man den Sinn gut über proportionales Denken erfassen.

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Drückt man mit einer Kraft von 10 Newton über 2 Sekunden hinweg auf ein reibungsfrei gelagertes Luftkissenboot, dann hat man dem Boot einen Impuls von 10·2 Newtonsekunden, also kurz von 20 Ns übergeben.

Kraft mal Zeit

Die Kraft multipliziert mit der Zeit ihrer Wirkung gibt also die Menge an Impuls, die dabei von einem Objekt auf ein anderes übergeht. Dieses Produkt kann man dem Produkt von Kraft und Weg als einer der grundlegendsten Formeln der klassischen Physik beistellen.

F·s = W ist die Formel für die verrichtete Arbeit 👉 W

F·t = Δp ist die Formel für die Impulsänderung 👉 Δp

Dabei steht s für die Wegstrecke über die hinweg die Kraft F wirkt und t steht für die Zeit, über die hinweg die Zeit wirkte.

Noch mal zur Einheit

Es ist dieser Kraftstoß, der dem Impuls die Newtonsekunde Ns als Einheit gibt. Über die Substitution der Einheit Newton als kg·m/s² (Merkhilfe: F=ma), kann man aber die Einheit jederzeit umwandeln in kg·m/s. Die rechnerische Umwandlung führt dann zu einer sinnvollen Einheitenschreibweise auch für die Deutung als Menge an Bewegung, nämlich Masse mal Geschwindigkeit.

Bahndrehimpuls

Sehr gut zu der bisher entwickelten Vorstellung von Impuls als Menge an Bewegung passt auch die Vorstellung, dass ein Körper bei einer Bahnbewegung entlang einer Kreislinie einen Impuls hat. Diesen Sonderfall des Impulses bezeichnet man als Bahndrehimpuls L. Er steht mit anderen Größen wie etwa dem Trägheitsmoment J rechnerisch in einem Zusammenhang.

L = m·r·v

L = m·r²·ω

Der Bahndrehimpuls L eines Körpers ist rechnerisch gleich dem Produkt aus einer Masse m, dem Radius r der Kreisbahn und der Bahngeschwindigkeit v entlang der Kreislinie. Alternativ kann man den Bahndrehimpuls auch mit Hilfe der Winkelgeschwindigkeit ω (kleines griechisches Omega) berechnen. Siehe mehr unter 👉 Bahndrehimpuls

Eigendrehimpuls

Eng mit dem Bahndrehimpuls verwandt ist der Eigendrehimpuls eines um sich selbst rotierenden Körpers. Man denke für Beispiele etwa an die Rotation der Erde um sich selbst oder schnell drehende Elektromotoren oder Dynamos.

L =J·ω

Das große lateinische J steht für das sogenannte Trägheitsmoment und das kleine griechische ω (Omega) wieder für die Winkelgeschwindigkeit. Siehe mehr unter 👉 Eigendrehimpuls

Spin

In der submikroskopischen Welt der Atome und Moleküle ordnet man verschiedenen Teilchen einen sogenannten Spin zu. Das Verb to spin heißt im Englisch so viel wie sich drehen (the world spinning round). Das deutsche Wort spinnen, etwa von Wolle, passt dazu. Der Spin von zum Beispiel Elektronen wird zur Veranschaulichung oft mit einem Bahn- und Eigendrehimpuls erklärt. Doch hat diese Verbindung zu echten Drehbewegungen mehr nur die Funktion einer Eselsbrücke. Der Spin hat Eigenschaften, etwa seine Quantelung, die man größeren Körpern in einer Kreisbewegung nicht zuschreibt. Siehe mehr dazu im Artikel zum 👉 Spin

Photonenimpuls

Hummeln

Alles was Kilogramm hat, also Masse, kann auch einen Impuls haben. Wenn eine Hummel mit einer typischen Masse von zum Beispiel 0,2 Gramm behäbig mit mit 1 cm/s vor eine Blüte umherschwebt, dann hat sie in diesem Moment einen Impuls von etwa 0,000002 Newtonsekunden. Das ist wenig, aber immerhin mehr als nichts.

Licht

Die Physik kennt aber auch Objekte, denen sie eigentlich keine Masse zuordnet, die aber doch einen Impuls übertragen können, also selbst auch einen Impuls haben müssen. Das klassische Beispiel dafür ist das hypothetische Teilchen des Lichts, das Photon.

Formeln

λ = h/(mv)

λ = h/p

Legende

λ = die 👉 de-Broglie-Wellenlänge

p = der 👉 Photonenimpuls

v = die 👉 Geschwindigkeit [des Teilchens]

m = die 👉 Ruhemasse [des Teilchens]

c = die 👉 Lichtgeschwindigkeit

h = die 👉 Planck-Konstante

Die Formeln beziehen sich auf sogenannte Photonen. Photonen sind ein gedankliches Scharnier zwischen der Wellenvorstellung von Strahlung (wie z. B. Licht) und der Teilchenvorstellung. Die Wellenlänge λ (kleines griechisches Lambda) gehört ganz ohne Zweifel in die Vorstellungswelt von Wellen. Masse hingegen ist ganz eindeutig keine Eigenschaft einer Welle sondern eine Eigenschaft eines Teilchens. Die Unanschaulichkeit von Wellen mit Masse und Teilchen mit Wellenlängen wird deutlich, wenn man ernsthaft versucht, Fragen der folgenden Art zu beantworten.

Wie viele Kilogramm hat diese oder jene Welle am Strand?

Was ist die Wellenlänge von einem Golfball und was sagt sie aus?

Obwohl das Wellenbild und das Teilchenbild von Strahlung anschaulich-realistisch kaum verträglich sind, kann man in der Physik diese Unverträglichkeit oft auf eine pragmatische Weise ignorieren und gelangt damit zu sehr guten Rechenergebnissen zur Vorhersage der Wirklichkeit. Siehe dazu mehr im Artikel zum 👉 Welle-Teilchen-Dualismus

Historisch

Der Gedanke, dass die Teilchen des Lichts, die Photonen, einen Impuls haben können, geht spätestens auf Albert Einstein zurück. Schon im Jahr 1905 setzte er Masse und Energie zumindest rechnerisch gleich. Damit aber kann man auch reiner Energie einen Impuls zuordnen.^[7]

Feldimpuls

Einsteins Theorie

Auch elektromagnetische Felder, die an sich materielos gedacht werden, können einen Impuls tragen. Ändert man die Geschwindigkeit einer elektrischen Ladung an einer Stelle im Raum, so muss sich gleichzeitig der Impuls eines anderen Objektes dazu passend verändern, sodass der vorherige Gesamtimpuls erhalten bleibt. Sollte nur Masse Impulse tragen können, könnte ein solches anderes Objekt zu Beispiel ein zweites elektrisch geladenes Teilchen in einiger Entfernung vom ersten Teilchen sein. Doch nach Einsteins Relativitätstheorie kann sich Information maximal mit der Geschwindigkeit von Licht im Vakuum ausbreiten. Damit entstünde eine Zeitdauer, in der der Impuls des ersten Teilchens sich schon geändert hat, der Impuls des zweiten Teilchens aber noch nicht. Damit wäre das Gesetz von der jederzeitig gültigen Erhaltung des Impulses verletzt. Die Lösung liegt darin, dass der Impuls lokal als sogenannte Impulsdichte j durch das elektromagnetische Feld wandern kann. Dem gesamten Feld schreibt man dann einen Feldimpuls zu.^[6] Siehe dazu auch 👉 Impulsdichte

Relativistischer Impuls

Laut Einstein ändern sich Raum und Zeit wenn sich Dinge zueinander bewegen. Bei sehr schnell fliegenden Teilchen muss man den Impuls anders berechnen. Man muss dann die Relativitätstheorie von Albert Einstein benutzen. Siehe dazu auch 👉 relativistischer Impuls

Unterschied zur kinetischen Energie

Der Impuls m·v und die kinetische Energie ½·m·v", auch Bewegungsenergie genannt, geben gefühlsmäßig beide so etwas wie die Wucht an, die in einer Bewegung steckt. Bei beiden Berechnungstermen kommen als Formelgrößen nur die Masse m und die Geschwindigkeit v vor. Der einzige formelmäßige Unterschied ist, dass bei der kinetischen Energie der Term mit ½ multipliziert wird und die Geschwindigkeit als Quadrat vorkommt. Neben diesen zunächst nur formelmäßigen Unterschieden gibt es aber noch einige weitere für das physikalische Verständnis wichtige Aspekte zu betrachten.

a) Der Impuls ist proportional zur Geschwindigkeit, die kinetische Energie nicht: verdoppelt man nur die Geschwindigkeit eines Körpers, dann verdoppelt sich auch sein Impuls, nicht aber die kinetische Energie. Die kinetische Energie wird sich vervierfachen. Siehe auch 👉 quadratisches Wachstum

b) Der Impuls ist eine Vektorgröße, die kinetische Energie nicht. Wenn sich nur die Richtung einer Bewegung ändert, ändert sich der Impuls. Die kinetische Energie aber bleibt gleich. Siehe auch 👉 Vektorgröße

c) Der Impuls eines abgeschlossenen Systems kann sich niemals ändern. Die kinetische Energie schon. Anders gesagt: Impuls kann nicht verloren gehen, kinetische Energie kann es. Siehe dazu unter 👉 Erhaltungssätze

Fußnoten

[1] Isaac Newton umschrieb den heutigen Impuls noch als die "Menge an Bewegung": "The motion of the whole is the sum of the motions of all the parts; and therefore in a body double in quantity, with equal velocity, the motion is double; with twice the velocity, it is quadruple." In: Mathematical Principles of Natural Philosophy, by Sir Isaac Newton, Translated into English by Andrew Motte. Basierend auf der dritten lateinischen Ausgabe aus dem Jahr 1729. Auf Englisch erschienen im Jahr 1846. Online: https://redlightrobber.com/red/links_pdf/Isaac-Newton-Principia-English-1846.pdf

[2] Impuls als Größe der Bewegung: "Setzt eine Kraft eine Masse in Bewegung, so hat das im allgemeinen einen doppelten Effekt: es müssen auf dem Wege irgendwelche äußere Widerstände überwunden werden, wie z. B. Reibung, Luftwiderstand u. dgl. und anderseits erhält der Körper eine Geschwindigkeit, d. h. seine Bewegungsgröße wurde verändert." Dass Exner mit Bewegungsgröße den Term m·v meinte geht hervor aus: "Nennen wir Gamma [den] Geschwindigkeitszuwachs pro Sekunde, die sogenannte Beschleunigung, so wird die Geschwindigkeit v in t Sekunden v = Gamma·t. Die Bewegungsgröße nach der Zeit ist dann m·Gamma·t." Da Gamma·t aber genau v gibt, ist der letzte Term identisch mit m·v. In: Franz Serafin Exner: Vorlesungen über die physikalischen Grundlagen der Naturwissenschaften. Deuticke, Wien 1919, OBV. Dort in der "17. Vorlesung. Der Kraftbegriff. Arbeit. Lebendige Kraft", Seite 141.

[3] Impuls als Größe der Bewegung: "Das Produkt aus der Masse m eines Massenpunktes und seiner Geschwindigkeit u ergibt einen Vektor, den man als Impuls oder Bewegungsgröße (J) bezeichnet." In: Christian Gerthsen: Physik. 9. Aufl. Berlin: Springer-Verlag, 1966.

[4] Einige anspruchsolle Fragen zum Impuls findet man in dem sehr lesenswerten Buch "Denksport Physik". Hier ein Beispiel: ein oben offener Eisenbahnwagen mit wasserdichten Wänden rollt mit einer konstanten Geschwindigkeit reibungsfrei auf horizontalen Schienen. Nun regnet es. Wassertropfen fallen senkrecht zur Bewegungsrichtung des Wagens in den offenen Behälter und füllen ihn langsam mit Wasser an. Was passiert a) mit dem Impuls, b) mit der kinetischen Energie und c mit der Geschwindigkeit des Wagens? Und wenn man diese Fragen beantwortet hat, stellt man sich die Fragen analog für den Fall, dass das Wasser dann über eine Öffnung im untersten Bereich des Wagens wieder abfließen kann. Siehe auch 👉 Denksport Physik

[5] Albert Eintein zur Idee, das Strahlung (etwa Licht), einen Impuls (Trägheit) übertragen kann: "Gibt ein Körper die Energie L in Form von Strahlung ab, so verkleinert sich seine Masse um L/V² [wobei V die Lichtgeschwindigkeit bedeutet]. Hierbei ist es offenbar unwesentlich, daß die dem Körper entzogene Energie gerade in Energie der Strahlung übergeht, so daB wir zu der allgemeineren Folgerung geführt werden: Die Masse eines Körpers ist ein MaB für dessen Energieinhalt; ändert sich die Energie um L, so ändert sich die Masse in demselben Sinne um L/9·10²⁰, wenn die Energie in Erg und die Masse in Grammen gemessen wird." Und: "Wenn die Theorie den Tatsachen entspricht, so überträgt die Strahlung Trägheit zwischen den emittierenden und absorbierenden Korpern." In: Albert Einstein (1905): Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? Annalen der Physik, Vierte Folge, Band 18, Heft 13, S. 639–641. Siehe auch 👉 Photonenimpuls

[6] Feynman zum Feldimpuls: "Next we would like to talk about the momentum in the electromagnetic field. Just as the field has energy, it will have a certain momentum per unit volume. Let us call that momentum density g." In: Feynman, Richard P., Robert B. Leighton, and Matthew Sands. The Feynman Lectures on Physics. Vol. II, Mainly Electromagnetism and Matter. Chapter 27, "Field Energy and Field Momentum." Reading, MA: Addison-Wesley, 1964. Online: https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_27.html