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Impulsdichte

Physik

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Basiswissen｜ Abrahams Herleitung｜ Feynmans Herleitung｜ Fußnoten


Basiswissen


Die Impulsdichte g [2] bezeichnet die räumliche Dichte des mit dem elektromagnetischen Feld verknüpften Impulses. [1] Für ein Vakuum gilt die Formel g = S/c². Dabei ist c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und der große Buchstabe S der Betrag des sogenannten Poynting-Vektors. Der Betrag des Poynting-Vektors alleine steht für die sogenannte Impulsstromdichte. Den Gesamtimpuls eines Feldes bezeichnet man auch als Feldimpuls. [2] Die Einführung einer Impulsdichte war historisch nötig, um Bedingungen von Gleichgewichten (Kräfte) und Erhaltungen (Impuls) aus der klassischen Physik gerecht werden zu können.

Abrahams Herleitung


Anlehnung an die klassische Mechanik
Der Physiker Max Abraham (1875 bis 1922) argumentierte im Jahr 1902, dass man "die Sätze von der Bewegungsgröße, oder die „Impulssätze“ aus der Lorentzschen Theorie" herleiten könne, was dem französischen Physiker Henri Poincaré (1854 bis 1912) schon gelungen sei. Abrahams Ziel war es, die Dynamik, das heißt die Bewegung des Elektrons in Verbindung mit Kräften weiter zu erhellen. Ein wichtiges Qualitätsmerkmal seiner Theorie der Dynamik von Elektronen schien Abraham eine gedankliche Nähe, eine Analogie zu bereits bekannten Theorien der Mechanik zu sein:


ZITAT:

Max Abraham, 1902: "Ich sehe den Vorzug der Lorentzschen Theorie hauptsächlich darin, dass man aus ihr eine elektromagnetische Bewegungsgröße ableiten kann. Das vereinfacht die mathematische Betrachtung und ermöglicht die Analogie zur gewöhnlichen Mechanik." [3]


Doch dabei tritt ein Problem auf:


ZITAT:

Max Abraham, 1902: "Das Elektron befinde sich nun in einem gegebenen äußeren elektromagnetischen Felde". Doch dann "heben sich im allgemeinen die Kräfte, welche vom Felde auf das Elektron einerseits und auf die Begrenzung andererseits ausgeübt werden, durchaus nicht auf; sie widersprechen also dem dritten Axiome Newtons." [3]


Das dritte Newtonsche Axiom gilt immer nur für zwei Körper. Es besagt, dass "actio = reactio: F₁=−F₂, wenn F₁ die Kraft, die auf den 1. Körper, F₂ die Kraft, die auf den 2. Körper wirkt, bedeutet." [4] Dabei unterstellt Abraham stillschweigend, dass das Feld, in dem sich das Elektron befindet, die Rolle eines Körpers einnimmt. Hier muss man sich aber bewusst halten, dass ein elektromagnetisches Feld keine Masse im Sinne Newtons besitzt und damit auch kein klassisch gedachter Körper mit Masse ist. Folgt man Abrahams Gedanken, und unterstellt man, dass das dritte Newtonsche Axiom auch zwischen einem Elektron und einem elektromagnetischen Feld als zwei Körper gelten soll, dann, so Abraham, kann man auf so etwas wie einen Impuls in Verbindung mit dem Feld schließen:


ZITAT:

Max Abraham, 1902; "[…] das dritte Axiom können wir retten, wenn wir eine neue „elektromagnetische Bewegungsgröße“ einführen, die über das Feld mit der Dichte 1c2⋅𝔖 verteilt ist." [3]


Als Bewegungsgröße bezeichnete man damals wie zum Teil auch heute noch den mechanischen Impuls. Der Impuls gibt anschaulich so etwas wie die Menge an Bewegung wieder, die irgendwo vorhanden ist. Abraham ordnet nur eine solche Größe auch Teilen des elektromagnetischen Feldes zu.

Feynmans Herleitung


RADNNOTIZ !Alternative Herleitung! Der Physiker Richard Feynman (1918 bis 1988) sprach sowohl von einer Impulsdichte (momentum density) wie auch von einem Feldimpuls (field momentum). [2] Feynman leitet diese Konzepte aber anders als Abraham aus dem Satz von der Erhaltung der Energie in Verbindung mit einer Erfordernis von Einsteins Relativitätstheorie her, dass nämlich keinerlei Information im Universum sich schneller ausbreiten kann als sich Licht im Vakuum bewegen kann.

Schwache Formulierung der Erhaltung von Energie
Zunächst erinnert Feynman an eine von ihm zuvor gegebene Formulierung des Satzes von der Energierhaltung: die Gesamtmenge Energie im Universum verändert sich nicht (the total energy in the world is constant). In einem Gedankenexperiment siedelt Feynman elektrische Ladung Q₁ an einem Punkt 1 an. An einem davon entfernten Punkt 2 sei zunächst keine Ladung vorhanden. Doch im Laufe der Zeit (as time goes on) soll die Ladung Q₁ am Punkt 1 langsam verschwinden (gradually fade away) und gleichzeitig mit dieser Abnahme soll die gleiche Menge Ladung am weit entfernten Punkt 2 auftauchen (appear). Dabei soll zu jedem Zeitpunkt (at every instant) die Summe der Ladungen Q₁ und Q₂ konstant bleiben. Damit bliebe die Gesamtmenge (total amount) an Energie in der Welt (in the world) erhalten.

Starke Formulierung der Erhaltung von Energie
Nun soll diese schwache Formulierung weiter eingeschränkt (restricted) werden, und etwas detaillierter (in detail) gefassst werden. In der etwas stärkeren Formulierung (somewhat stronger law) kann man dann sagen: wenn Energie einen Raumbereich (region) verlässt, dann weil sie durch die Grenzen dieses Bereiches abfließt (flows away through the boundaries).

Feynmans Stil
Richard Feynman ist noch heute berühmt für seine Vorlesungen zur Physik aus den frühen 1960er Jahren. Er wollte damals eine ganz neuen Ansatz wagen. Feynman wollte nicht wie damals (und heute?) noch üblich, seinen Zuhörern ein Panoptikum des bekannten Wissens bieten, hier und da ohne erkennbare Verbindung in verschiedene Gebiete der Physik einführen. Vielmehr wollte er seinen Studenten zeigen, wie sich die große Vielfalt er Erscheinungen unserer Welt oft auf einige wenige aber sehr fundamentale Grundprinzipien zurück führen lassen. Diese Grundprinzipien zu verstehen, so Feynman, sei oft gar nicht so schwer. Schwer sei es lediglich, aus diesen mathematisch etwas abzuleiten. In diesem Sinn versucht Feynman jetzt die Konzepte einer Impulsdichte oder eines Feldimpulses aus einer logischen Verbindung der Energieerhaltung mit Einsteins Relativitätstheorie herzuleiten. Folgen wir weiter der Argumentation Feynmans.

Einsteins Invarianz
Der Idee, dass Energie - und später auch Impuls - ohne Zeitverzug an einem Ort verschwindet und irgendwo anders an einem weiter entfernten Ort gleichzeitig in gleicher Menge erscheint, führt zu Problemen mit der sogenannten Invarianz oder dem Prinzip der Relativität [5] im Sinne von Albert Einstein. Versuchen wir dieser Argumentation Feynmans ausgehend von Einsteins Originalworten zu folgen.


ZITAT:

Albert Einstein, 1905: die "mißlungenen Versuche [z. B. von Michelson und Morley], eine Bewegung der Erde relativ zum „Lichtmedium“ zu konstatieren, führen zu der Vermutung, daß dem Begriffe der absoluten Ruhe nicht nur in der Mechanik, sondern auch in der Elektrodynamik keine Eigenschaften der Erscheinungen entsprechen, sondern daß vielmehr für alle Koordinatensysteme, für welche die mechanischen Gleichungen gelten, auch die gleichen elektrodynamischen und optischen Gesetze gelten [kkk]. Wir wollen diese Vermutung (deren Inhalt im folgenden „Prinzip der Relativität“ genannt werden wird) zur Voraussetzung erheben [kkk]" [5]


Einsteins Relativität
Bei dem obigen Zitat von Einstein muss man sehr genau die Worte deuten. Einstein unterscheidet "Erscheinungen" und "Gesetze". Erscheinungen oder Phänoene ist das, was sich unseren Sinneswahrnehmung präsentiert. Wenn man eine Sache als klein, schwer, schnell und jetzt wahrnimmt ist das eine andere Erscheinung als sie als groß, langsam, leicht und etwas später wahrzunehmen. Diese Erscheinungen ein und derselben Sache dürfen aber für Beobachter in verschiedenen Situationen, etwa verschiedenen Geschwindigkeit relativ zum beobachtete Gegenstand, für Einstein durchaus verschieden ausfallen. Was Einstein suchte waren keine Formeln, die für alle Beobachter am Ende Objekte mit gleicher Größe, Masse, Geschwindigkeit und Zeitdauer liefert. Einstein suchte vielmehr nach Formeln, die die VERÄNDERUNG dieser Erscheinungen für alle Beobachter auf die gleiche Weise beschreibt. Egal in welchem Koordinatensystem man sich befindet, am Ende sollten alle Beobachter dieselben Gesetze der Veränderung nutzen können, um etwa zu beschreiben, wie schnell etwas zu Boden fällt oder wann etwas passiert. Und die Gleichzeitigkeit, wann etwas passiert gehört eben zu diesen Erscheinungen, die für verschiedene Beobachter durchaus subjektiv unterschiedlich ausfalle darf.


ZITAT:

Albert Einstein, 1905: "Wir sehen also, daß wir dem Begriffe der Gleichzeitigkeit keine absolute Bedeutung beimessen dürfen, sondern daß zwei Ereignisse, welche, von einem Koordinatensystem aus betrachtet, gleichzeitig sind, von einem relativ zu diesem System bewegten System aus betrachtet, nicht mehr als gleichzeitige Ereignisse aufzufassen sind."


Gleichzeitig und bloß globale Sätze der Erhaltung widersprechen sich.
Diese Preisgabe der Gleichzeitigkeit greift nun Feynamn auf. Er stellt fest, dass zwei Ereignisse (two events), die in einem System gleichzeitig (simultaneous) sind, es in einem vorbeifliegenden (moving past) System nicht sind. Doch für eine globale (world-wide) Erhaltung der Energie wäre es notwendig, dass die Ladungsmenge die Q₁ verloren geht sofort (simultaneously) bei Q₂ wieder erscheinen sollte. Ansonsten gäbe es kurze Momente (some moments) in denen die Ladung nicht erhalten bliebe (not conserved). [2] Was Feynman hier für die Ladung entwickelt, überträgt er später auch auf den Impuls.

Nichtlokalität wäre eine Lösung, gilt aber nicht
Formuliert man einen Erhaltungssatz in einer schwachen Formulierung nur global, dann erlaubt man, dass etwas an einem Ort im Universum verloren geht und gleichzeitig irgendwo anders im Universum in gleicher Menge neu entsteht. Dass zwei Ereignisse kausal zusammenhängen aber nicht durch eine Kette räumlich und zeitlich kontinuierlicher lückenloser Zwischenereignisse verbunden sind, bezeichnet man mit vielleicht unterschiedlichen Schwerpunkten mit Begriffen wie Fernwirkung, actio in distans oder 👉 Nichtlokalität

Problemkreis ist noch größer
Feynman verweist dann noch darauf, dass die Idee nichtlokaler (nonlocal) Wechselwirkungen (interactions) oft auch dazu herangezogen wird, um bestimmte Phänomene der Quantentheorie (Feynman: "quantum field theory) zu erklären. Doch damit würde man Ärger (trouble) mit dem Prinzip der Relativität bekommen. [2]

Idee lokaler Erhaltungssätze
Um Erhaltungssätze in einem solchen Sinne nichtlokal in Worte fassen zu können, braucht man eine objektiv gültige Gleichzeitigkeit, die es aber Albert Einstein zufolge nicht sinnvollerweise geben kann. Wie kann man das Problem jetzt lösen? Feynmans Vorschlag, der dann auch zur Impulsdichte führt, ist die Idee lokaler Änderungen mit lokalen Bilanzen im Gegensatz zu nichtlokalen Änderungen zur Einhaltung globaler Bilanzen. Es gäbe keine Möglichkeit (no way), die Erhaltung der elektrischen Ladung im Sinne von Einsteins Theorie (relativistically) "invariant" zum machen, außer man formuliert den Erhaltungssatz um als lokales Gesetz (“local” conservation law). [2]

RANDOTIZ !Was lokal meint! Die Idee einer lokalen Erhaltung (“Local” conservation) fordert, dass eine Ladung, Energie oder sonstetwas von einem Ort zu einem anderen Ort (one place to another) nur dann gelangen kann, wenn etwas in dem Raum dazwischen geschieht (something happening in the space bewtween). Dies ist eine stärkere, strengere oder engere (more extreme) Art (kind) eines Erhaltungssatzes. Sie fordert, dass etwas lokal erhalten wird (conserved “locally”). [2]

Von der Energie zum Impuls
Feynmans bisherige Betrachtungen hatten sich bis zu dieser Stelle im Gedankengang auf die elektrische Ladung und Energie bezogen. Nun kommt der Schwenk hin zum Impuls. Feynman führt dazu eine grundlegende Beziehung zwischen Energie und Impuls an.

g = S/c² — Wann immer es einen Fluss von Energie gibt, ganz gleich unter welchen Umständen, etwa als Energie eines Feldes), dann ist der Energiefluss durch eine Flächeneinheit pro Zeit (unit area per unit time) geteilt durch c² gleich dem Impuls in diesem Raumelement (unit volume in space). [2]

Das kleine g steht jetzt für die Impulsdichte, das große S für den Betrag des sogenannten Poynting-Vektors. Und dieser Betrag steht für die elektromagnetische Dichte des Stroms an Energie. Und damit sind wir jetzt bei einer lokalen Betrachtung angelangt, die Einsteins Gesetze nicht verletzt und trotzdem die Erhaltungssätze einhält.

Fußnoten


  • [2] Feynman zum Feldimpuls: "Next we would like to talk about the momentum in the electromagnetic field. Just as the field has energy, it will have a certain momentum per unit volume. Let us call that momentum density g." In: Feynman, Richard P., Robert B. Leighton, and Matthew Sands. The Feynman Lectures on Physics. Vol. II, Mainly Electromagnetism and Matter. Chapter 27, "Field Energy and Field Momentum." Reading, MA: Addison-Wesley, 1964. Online: https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_27.html
  • [4] "Für zwei Körper, die nur miteinander, aber nicht mit anderen Körpern wechselwirken, gilt das 3. Newtonsche Axiom: actio = reactio: F₁=−F₂, wenn F₁ die Kraft, die auf den 1. Körper, F₂ die Kraft, die auf den 2. Körper wirkt, bedeutet." In: Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme. Springer Verlag, 9. Auflage. ISBN: 978-3-662-54846-2. Siehe auch 👉 drittes Newtonsches Axiom
  • [5] Albert Einstein: Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Erschienen in den Annalen der Physik (ser. 4), 17, S. 891–921 im Verlag Johann Ambrosius Barth im Jahr 1905 in Leipzig. Siehe auch 👉 Relativitätsprinzip

Siehe auch


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