Grundidee

Vorder- und Hinterglied

• Frage: In welchem Verhältnis steht die 8 zur 2?
  

• Antwort: Die 8 ist das Vierfache der 2.
  

• Die 8 und die 2 nennt man allgemein Glieder ↗
  

• Die 8 ist das soganannte Vorderglied ↗
  

• Die 2 ist das sogenannte Hinterglied ↗
  

Typische Zahlenbeispiele

• Man hat immer zwei Zahlen gegeben und fragt:
  

• In welchem Verhältnis steht die erste zur zweiten Zahl?
  

• Beispiel a) In welchem Verhältnis steht die 8 zur 4?
  

• Beispiel b) In welchem Verhältnis steht die 3 zur 6?
  

• Beispiel c) In welchem Verhältnis steht die 14 zur 21?
  

• Beispiel d) In welchem Verhältnis steht die 12 zur 8?
  

• Allgemein: In welchem Verhältnis steht p zu q?
  

Wie berechnet man ein Verhältnis?

• Immer: p geteilt durch q
  

• Also: immer die erste Zahl geteilt durch die zweite Zahl
  

• Beispiel a) 8:4=2, also: das Verhältnis von 8 zu 4 ist 2.
  

• Beispiel b) 3:6=0,5, also: das Verhältnis von 3 zu 6 ist 0,5.
  

• Beispiel c) 14:21≈0,67, also: das Verhältnis von 14 zu 21 ist 2/3 oder etwa 0,67.
  

• Beispiel d) 12:8=1,5, also: das Verhältnis von 12 zu 8 ist 1,5.
  

Was bedeutet das Verhältnis?

• Das Verhältnis als einzelne Zahl fasst mehrere Bedeutungen zusammen:
  

• Vielfachheit: Wie viel mal so groß ist die erste Zahl wie die zweite?
  

• Anteil (Bruchteil): Was ist die erste Zahl als Anteil der zweiten Zahl?
  

Wo hilft die Idee des Verhältnisses?

• Viele Angaben im Alltag sind als Verhältnis gegeben.
  

• Ist zum Beispiel die Geschwindigkeit einer Spaziergängers 4 km/h, dann ...
  

• heißt das: das Verhältnis von gewanderten Kilometern zu den dazu benötigten Stunden ist 4.
  

• Das heißt: Die Kilometerzahl ist immer das 4fache (4 mal so viel) der Stundenzahl.
  

• Ist jemand 3,5 Stunden gewandet, rechnet man einfach: "mal 4" und hat dann die Kilometerzahl, hier: 14
  

• Vor allem in der Physik und Technik spielen Verhältnisse eine sehr große Rolle.
  

Ist der Begriff eindeutig?

• Das Wort Verhältnis wird in einem engeren und einem allgemeinen Sinn gebraucht.
  

• Die Definition oben ist der engere Sinn. Man nennt es auch geometrisches Verhältnis ↗
  

• Neben dem geometrischen gibt es auch noch ein arithmetisches Verhältnis ↗
  

• Das arithmetische Verhältnis meint dasselbe wie Unterschied ↗
  

Synonyme

• Verhältnisse [Arten] ↗
  

• Quotientenwert ↗
  

• Verhältnis ↗
  

• Ratio ↗
  

Fußnoten

• [1] Samuel Eduard Baltrusch: Das Kopf- und Ziffer-Rechnen. Theoretisch und praktisch nach der Methode vom Einfachen zum Zusammengesetzen mit besonderer Berücksichtigung der Decimalbrüche und der Raumgrößen behandelt, zum Gebrauche für Stadt- und Landschulen und zur Selbstbelehrung. Verlag der Gebrüder Bornträger. 1846. Seite 169 ff. Siehe Verhältnis (historisch) ↗
  

• [2] In einem Kunstlexikon aus dem Jahr 1774: "Verhältniß. (Schöne Künste) Die Größe oder Stärke eines Theils in so fern man ihn mit dem Ganzen, zu dem er gehört, vergleicht. Größe und Stärke sind unbestimmte Dinge, die unendlich wachsen und unendlich abnehmen können. Man kann von keiner Sache sagen, sie sey groß oder klein, stark oder schwach, als in so fern sie gegen eine andre gehalten wird. In einem Gegenstande der aus Theilen besteht, herrscht ein gutes Verhältniß der Theile, wenn keiner in Rüksicht auf das Ganze, weder zu groß noch zu klein ist. […] Das Verhältniß sezt zwey Größen voraus, weil es in Vergleichung oder Gegeneinanderhaltung derselben besteht. Nun kommt es bey der Größe jedes Theils darauf an, mit was für einer andern Größe man sie vergleichen solle. Sind diese Größen zu weit aus einander, so hat ihre Gegeneinanderhaltung nicht mehr statt. Man vergleicht die Größe des Mundes oder der Nase, wol mit der Größe des Gesichts, aber nicht mit der Größe der ganzen Statur. " In: Sulzer: Allgemeine Theorie der Schönen Künste, Band 2. Leipzig 1774, S. 1214-1216. Online: http://www.zeno.org/nid/20011450398
  

• [3] Die mathematische Idee von einem Verhältnis, 1857: "Verhältniß, in der Mathematik bei der Vergleichung zweier gleichartiger Größen die Beziehung derselben zu einander hinsichtlich ihrer Größe. Die beiden Größen heißen die Glieder des Verhältnisses. Das Verhältnis heißt ein arithmetisches, wenn die Vergleichung durch Subtraction geschieht (15–5), wo es sich also fragt, um wie viel die eine Größe größer ist, als die andere; ein geometrisches, wenn die Vergleichung durch Division geschieht (15 : 5), wo gefragt wird, wie viel mal die eine Größe größer ist als die andere." In: Herders Conversations-Lexikon. Freiburg im Breisgau 1857, Band 5, S. 609-610. Online: http://www.zeno.org/nid/20003556700
  

• [4] Ausführlich in einem Lexikon aus dem Jahr 1864: "Verhältniß, 1) der allgemeinste Ausdruck dafür, daß gleichartige Begriffe, Dinge od. Ereignisse nicht einzeln betrachtet werden, sondern insofern sie in Beziehung zu einem anderen stehen. […] 2) (Math.), die Angabe durch Zahlen, wie unter zwei gleichartigen Größen die eine aus der anderen entsteht. Die hierzu nothwendige Vergleichung beider Größen kann von einem doppelten Gesichtspunkte ausgehen: man fragt entweder um wie viel, od. wie viel Mal ist die eine größer od. kleiner als die andere; im ersten Falle erhält man ein arithmetisches, im zweiten ein geometrisches V. Die beiden verglichenen Größen heißen Glieder. Beim arithmetischen V. fragt man nach dem Unterschied, beim geometrischen V. nach dem Quotienten beider Glieder; daher wird ein arithmetisches V. durch Benutzung des Zeichens –, ein geometrisches durch: geschrieben. Die durch die Subtraction od. Division gefundene Größe heißt der Name od. Exponent, beim geometrischen auch der Quotient des V-es. Auch nennt man, die erste der beiden verglichenen Größen das Vorderglied, die zweite das Hinterglied des V-es. Ist das V. zwischen zwei Gliedern dem zwischen zwei anderen gleich, so erhält man durch ihre Zusammenstellung eine Proportion (s.d.), z.B. ist 14–9 = 11–6 eine arithmetische, 18:6 = 30:10 eine geometrische Proportion. Unter V. schlechthin ohne ausdrückliche Angabe, welches von beiden genannten Arten gemeint sei, versteht man immer das geometrische. Sind nun, wie dies in der angewendeten Arithmetik immer der Fall ist, die Glieder nicht reine Zahlen, so muß man die Erklärung des Wortes streng so fassen V. ist der Quotient der beiden Zahlen, welche angeben, wie oft ein gemeinschaftliches Maß in beiden Größen enthalten ist. Hieraus folgt, daß man zunächst nur bei commensurabeln Größen, welche ein gemeinschaftliches Maß haben, von V. sprechen kann, u. daß zwischen incommensurabeln eigentlich kein V. besteht. Da dies aber in der Wissenschaft von räumlich od. zeitlich ausgedehnten Größen (Geometrie u. Physik) der Allgemeinheit der Lehrsätze großen Eintrag thun würde, so ist man übereingekommen auch zwischen letzteren den Ausdruck V. zu statuiren u. sagt, daß das V. zweier incommensurabler Größen dem zweier anderer gleich sei, wenn die erste Größe zu einer von der zweiten beliebig viel, u. auch noch so wenig verschiedenen commensurabeln Größe sich nicht so verhalten könne, wie die dritte zu der vierten. In diesem Sinne ist z.B. das V. zweier Parallelogramme Von gleicher Höhe gleich dem V. ihrer Grundlinien, auch wenn diese incommensurabel sind. Um nun auch mit dem V. zweier incommensurabler Größen weiter rechnen zu können, setzt man dafür ein sogenanntes genähertes V., d.i. das V zweier commensurabler, welche von jenen so wenig als man will verschieden sind. So ist z.B. das V. zwischen Durchmesser u. Kreisumfang genähert ausgedrückt durch 1 : 3,14159 Ein V. heißt aus mehreren anderen zusammengesetzt, wenn sein Vorderglied das Product der Vorderglieder u. sein Hinterglied das Product der Hinterglieder der letzteren ist; diese letzteren heißen dann in Bezug auf das zusammengesetzte V. die Theilverhältnisse; z.B. entsteht aus den Theilverhältnissen a : b, i : k, m : n das zusammengesetzte V. aim : bkn." In: Pierer's Universal-Lexikon, Band 18. Altenburg 1864, S. 473-474. Online: http://www.zeno.org/nid/20011206462
  

• [5] Verhältnis mathematisch, 1909: "Verhältnis, im allgemeinen die Beziehung des einen auf ein andres. Daher ist eine Verhältnisbestimmung eine solche, die einem Ding oder einem Begriff nicht an sich selbst, sondern nur in seiner Beziehung auf ein andres, oder vermöge einer Vergleichung mit dem letztern zukommt. Verhältnisbegriffe oder korrelate Begriffe heißen insbes. solche, die einander wechselseitig erfordern und bedingen, wie z. B. groß und klein, rechts und links, Gatte und Gattin etc. – In der Mathematik versteht man unter V. das Ergebnis der Vergleichung zweier gleichartiger Größen, die man die Glieder des Verhältnisses nennt. Man kann nun fragen, um wie viel das eine Glied größer ist als das andre; dies gibt zwischen den beiden Gliedern a und b das arithmetische V. (die Differenz a-b). Fragt man aber, wie vielmal das eine Glied so groß ist wie das andre, so erhält man das geometrische V. (den Quotienten) a: b oder a/b, Ein V. heißt steigend (zunehmend), wenn das zweite Glied größer ist als das erste, z. B. 5–7 oder 5: 7, im entgegengesetzten Fall fallend (abnehmend). Gewöhnlich versteht man unter V. schlechtweg das geometrische. Der Ausdruck für die Gleichheit zweier Verhältnisse ist eine Proportion (s. d.)." In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 20. Leipzig 1909, S. 75. Online: http://www.zeno.org/nid/20007643799