Impulserhaltungssatz

Physik

Basiswissen｜ Definitionen｜ Rechenbeispiel｜ Gilt für abgeschlossene Systeme｜ Impuls als Vektorgröße｜ Kein Bewegungserhaltungssatz｜ Beispiele｜ Wagenpendel｜ Pendeluhr｜ Ballistisches Pendel｜ Dreifachstoß｜ Flummiversuch｜ Folgen｜ Für die Himmelsmechanik｜ Für den Schwerpunktsatz｜ Für die Elektrodynamik｜ Für die Quantenphysik｜ Fußnoten

Basiswissen

Der Impuls p eines Körpers ist das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit, kurz m·v. Mathematisch wird dabei auch die Richtung der Bewegung berücksichtigt: wenn ein Körper die Richtung seiner Bewegung verändert, aber gleich schnell dabei bleibt, dann ändert er auch seinen Impuls. Der Satz von der Impulserhaltung sagt, dass es für jede Änderung eines Impulses irgendwo eine genau entgegengesetzte und gleich große Änderung gibt, sodass sich alle Änderung einzelner Impuls am Ende gegenseitig aufheben.^[1] Der Satz von der Erhaltung des Impulses ist allerdings kein Satz von einer Erhaltung von Bewegung.

Definitionen

DEFINITION:

Höfling, Physik; "Bei einem abgeschlossenen System ist die Vektorsumme aller Impulse nach Betrag und Richtung konstant. Diese Aussage gilt auch für nicht reibungsfreie Vorgänge."^[6]

DEFINITION:

Weidner/Sells: "Ist ein System keinen äußeren Kräften unterworfen, so bleibt der Gesamtimpuls des Systems nach Betrag und Richtung konstant."^[7]

DEFINITION:

Dorn.Bader: "Die Summe [vektoriell] der Impulse von n Körpern ist in einem abgeschlossenen System konstant."^[8]

DEFINITION:

Metzler: "In einem abgeschlossenen System ist die Summe der Impulse vor dem Stoß gleich der Summe der Impulse nach dem Stoß. p1+p2 = p1'+p2'. Eine räumlich begrenzte Anordnung von Körpern, die nur untereinander in Wechselwirkung stehen, wird als abgeschlossenes System bezeichnet."^[9]

DEFINITION:

Halliday: "Solange auf ein Teilchensystem keine äußere Kraft wirkt, ist der Gesamtimpuls p [als Vektor geschrieben] des Systems konstant."^[10]

DEFINITION:

Feynman: "Wir folgern […] dass bei Vorhandensein irgendeiner noch so komplizierten Art von Kraft zwischen zwei Teilchen die Summe der gemessenen oder berechneten Impulse m1v1+m2v2 sowohl vor als auch nach der Wirkung der Kraft gleich sein sollte, d. h. der Gesamtimpuls ist eine Konstante."^[11]

Rechenbeispiel

Elastischer Stoß zweier Kugeln

Angenommen zwei Kugeln mit gleichem Durchmesser rollen auf einer reibungsfreien und geradlinigen Schienenführung aufeinander zu. Man kann dann für jede Kugel einzelnen den Impuls ausrechnen. Addiert man diese Einzelimpulse, erhält man den Gesamtimpuls.

Linke Kugel: von links nach rechts

Linke Kugel: 4 kg als 👉 Masse

Linke Kugel: 4 m/s als 👉 Geschwindigkeit

Linke Kugel: 16 kg·m/s als 👉 Impuls

Rechte Kugel: von rechts nach links

Rechte Kugel: 2 kg als 👉 Masse

Rechte Kugel: -2 m/s als 👉 Geschwindigkeit

Rechte Kugel: -4 kg·m/s als 👉 Impuls

Gesamtimpuls beider Kugeln: 12 kg·m/s

Dieser Gesamtimpuls bleibt immer gleich, auch wenn die Kugeln zusammenprallen und dadurch ihre einzelnen Geschwindigkeit und sogar die Richtung ihrer Bewegung verändern. Es wäre zum Beispiel denkbar, dass die linke und schwerere Kugel ihre Bewegungsrichtung beibehält. Sie könnte eine Geschwindigkeit von 1 m/s haben. Ihr Einzelimpuls wäre dann 4 kg·m/s. Die rechte Kugel könnte ihre Geschwindigkeit umkehren und dann 6 m/s schnell sein. In Summe kämen die beiden Kugeln dann auf den geforderten Gesamtimpuls von 12 kg·m/s. Es gibt aber noch weitere Varianten, die auch einen Gesamtimpuls von 12 kg·m/s ergäben. Wie man die Geschwindigkeiten berechnet, die man nach dem Stoß tatsächlich hat, wird erklärt im Artikel über die 👉 Stoßgesetze

Gilt für abgeschlossene Systeme

Der Satz von der Impulserhaltung gilt für abgeschlossene Systeme. Abgeschlossen heißt, dass an den Grenzen des Systems keine Masse und keine Energie vom System in die Umwelt oder von der Umwelt in das System gehen können. Wenn man davon ausgeht, dass im Kosmos Masse und Energie Erhaltungsgrößen sind, sind von der Menge her nicht ändern, dann ist auch der gesamte Kosmos ein 👉 abgeschlossenes System

Impuls als Vektorgröße

Um den Impuls p eines Gegenstandes anzugeben, genügt es nicht, nur zu sagen, wie groß er ist. Wenn eine 10 kg schwere Kugel mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s rollte, dann hat sie einen Impuls von 20 kg·m/s als sogenannten Betrag des Impulses. Der Betrag sagt, wie groß etwas ist. Aber es fehlt noch die wichtige Angabe über die Richtung der Bewegung.

Dieses Bild ist für das Verständnis des Textes nicht wichtig. Das Bild wird im Text nicht erwähnt.

Mathematisch ist der Impuls eine Vektorgröße. Die Länge eines Pfeiles steht dabei für die Stärke des Impulses. Die Richtung des Pfeiles gibt die Information über die Richtung des Impulses.

Wenn man jeden einzelnen Impuls als Vektor, das heißt als Pfeil darstellt, kann man die mathematischen Regeln zum Rechnen mit Vektoren benutzen. Damit kommt man dann auch immer auf die physikalisch korrekten Ergebnisse. Für den Impulserhaltungssatz wichtig und gleichzeitig sehr einfach sind die Regeln zur 👉 Vektoraddition

Kein Bewegungserhaltungssatz

Der Satz von der Erhaltung des Impulses ist kein Satz von einer Erhaltung von Bewegung. Schon antike Denker wie der Grieche Aristoteles^[2] und der Römer Lukrez^[3] dachten darüber nach, ob Bewegung aus Ruhe entstehen könne. Falls nicht, so entsteht ein unendlicher Regress: wenn jede Bewegung durch einen Beweger angestoßen worden sein muss, wie entstand dann überhaupt die erste Bewegung?^[5] Tatsächlich aber ist die Annahme falsch, dass Bewegung nur aus Bewegung entstehen kann. Um das zu zeigen genügt ein einfaches Beispiel.

Merksatz:

Ein Tischfeuerwerk erzeugt Bewegung aus unbewegten Teilen. Wo vorher nur Ruhe war, sieht man beim Abbrennen bewegte glühende Teile durch die Luft fliegen. Nach dem Erlöschen sieht man auf dem Tisch Asche an Stellen wo vorher keine war. Offensichtlich ist Bewegung entstanden aus etwas, das vorher nicht bewegt war.

Die antike Vorstellung, dass Bewegung nur aus Bewegung entstehen kann, ist also falsch. Richtig ist aber, dass jede Änderung von Impuls, einen anderen Impuls benötigt, der sich genau entgegengesetzt ändert. Beim Tischfeuerwerk war der Gesamtimpuls vorher genau Null. Und auch während des Brennens bleibt der Gesamtimpuls die ganze Zeit über bei Null. Es gibt zwar viel sichtbare Bewegung, aber die Teilchen fliegen so in unterschiedlichen Richtungen davon, dass sich ihre einzelnen Impulse gegenseitig zu Null ausgleichen.

Beispiele

Wagenpendel

Als Wagenpendel bezeichnet man ein mechanisches Pendel, das auf einem frei rollbaren Wagen steht. Da der Impuls eine Vektorgröße ist, ändert er sich nicht nur mit der Geschwindigkeit der Pendelmasse. Auch die Richtung bleibt erhalten. Wenn die Pendelmasse ihre Richtung ändert, ändert sich auch ihr Impuls. Und genauso ändert sich auch der Impuls, wenn das Pendel langsamer wird.

Beim Wagenpendel erkennt man gut die ausgleichende Bewegung des Wagens. Am Ende bleibt für das gesamte rollende System der Gesamtimpuls gleich (abgesehen von geringen Verlusten wegen der Reibung des Wagens mit dem Tisch und letzten Endes mit der Erdkugel. Siehe auch 👉 Wagenpendel

Pendeluhr

Ein interessante Frage ergibt sich, wenn man mit der Idee des Satzes von der Impulserhaltung ein frei schwingendes Pendel betrachtet. Das kann ein Fadenpendel oder auch das Pendel einer Pendeluhr sein.

Das Pendel dieser Uhr ändert ständig seine Geschwindigkeit und auch seine Richtung. Damit ändert sich aber auch ständig der Impuls des Pendels, sowohl vom Betrag her als auch als Vektorgröße betrachtet.

Wenn das Pendel ständig seinen Impuls ändert, wäre ja der Satz von der Impulserhaltung verletzt. Irgendwo muss es einen oder mehrere andere Körper geben, die die Impulsänderung des Pendels ausgleichen. Tatsächlich ist es letzten Endes die Erdkugel, die den ständig sich ändernden Impuls des Uhrpendels kompensiert. Ein einfaches Experiment dazu ist der Pendelwagen: man baut ein Pendel auf einen frei beweglich rollenden Wagen auf. Schwingt das Pendel dann hin und her, bewegt sich der Wagen in immer der entgegensetzten Richtung. Dabei ändert das Gesamtsystem aus Pendel und Wagen jedoch nicht die Lage seines Schwerpunktes.

Ballistisches Pendel

Bei eine ballistischen Pendel wird ein Geschoss auf eine frei beweglich Pendelmasse geschossen. Da das Geschoss von dem Pendel ganz aufgenommen wird, also nicht zurückprallt, geht ein erheblicher Teil der kinetischen Energie des Pendels verloren. Was aber nicht verloren gehen kann, ist der Impuls.

Eine Stahlkugel von 8,44 Gramm Masse rollt aus maximalen Höhe von 30 Zentimetern von einer schiefen Ebene herab und wird von dem Pendel aufgefangen. Die theoretische Abfluggeschwindigkeit der Kugel liegt dann bei etwa 2,4 m/s, ihr Impuls bei etwa 0,02 Ns. Dieser Impuls bleibt auch dann erhalten, wenn die Kugel sich gemeinsam mit dem Auffangtonne am unteren Ende des Pendels weiter bewegt.

Erst durch die Erhaltung des Impuls kann man aus der Auslenkhöhe des Pendels letztendlich auf die Abschussgeschwindigkeit des Geschosses, hier maximal 1 bis 2 m/s, schließen. Die Rechnung ist nicht ganz einfach. Siehe mehr unter 👉 ballistisches Pendel

Dreifachstoß

Wenn eine rollende Kugel auf zwei andere vorher ruhende Kugeln auftrifft, ist das ein Sonderfall von einem sogenannten Dreifachstoß. Auch hier muss die Erhaltung des Impulses gelten. Nimmt man an, dass die Kugeln keinen nennenswerten Impuls an die Erde oder die Luft abgeben, dann muss die Vektorsumme aller Impulse vorher und nachher gleich bleiben. Mit einfachen Mitteln ist das allerdings nicht leicht nachzumessen.

Das Video zeigt einen ersten Pilotversuch: leider ist die Summe der Impulse aller Kugeln nach dem Stoß deutlich anders als der Impuls der alleine rollenden Kugel vor dem Stoß. Es ist noch nicht klar, woher die Abweichung von den gemessenen empirischen Werten und der berechneten theoretischen Werten kommt. Siehe auch 👉 Dreifachstoß

Mögliche Fehlerquellen: plumpe Mess- oder Rechenfehler, der Tisch hat eine geringe aber nicht zu vernachlässigende Neigung, es wurde Impuls an den Tisch oder die Luft übertragen…

Flummiversuch

Lässt man einen Flummi oder einen Medizinball aus einiger Höhe nach unten fallen, sieht man, wie er immer schneller wird. Dabei gewinnt er auch an Impuls. Entsprechend muss ein anderer Körper einen Impuls in entgegen gesetzter Richtung aufbauen.

Mit großen Gymnastikbällen kann mit gut einige Prinzipien der Mechanik auch körperlich gut spürbar machen. Siehe mehr unter 👉 Flummiversuche

Der einzige Körper, der als Impulspartner in Frage kommt, ist der gesamte Boden und damit eigentlich letzten Endes die gesamte Erdkugel. Diese steht über das Gravitationsfeld mit dem Ball in enger Beziehung. Siehe auch 👉 Flummiversuche

Folgen

Für die Himmelsmechanik

Die Himmelsmechanik beschäftigt sich mit der Bewegung von Himmelskörpern wie zum Beispiel Sonne, Mond, Asteroiden oder Kometen. Recht verbreitet ist die Vorstellung, dass der Mond um die Erde kreise und die Erde um die Sonne. Aus Sicht der Impulserhaltung wirft das ein Problem ein. Wenn etwa die Erde auf ihrer mehr oder minder kreisförmigen Bahn gerade in Richtung von ihrer Sommerposition (gehen wir von der Nordhalbkugel aus) in Richtung ihrer Winterposition wandert, hat sie einen Impuls in genau dieser Richtung. Doch ein halbes Jahr später bewegt sie sich genau entgegengesetzt zu dieser anfänglichen Richtung. Sie hat also ihren Impuls geändert. Wer hat jetzt zur Kompensation seinen Impuls als Impulspartner mit der Erde geändert? Tatsächlich ist es letzten Endes vor allem die Sonne. Wie bei einem Wagenpendel schwingt auch die Sonne sozusagen immer in Gegenrichtung zur Erde. Doch da die Sonne gut 333 tausend mal so schwer ist wie die Erde, ist ihre benötigte Geschwindigkeitsänderung auch in dieser Größenordnung mal so klein. Aber streng gesprochen fordert der Impulserhaltungssatz eine solche Ausgleichsbewegung von einem Zentralkörper. Und genau das ist auch der Fall. Beide Körper die Erde als Satellit und die Sonne als Zentralkörper bewegen sich um einen gemeinsamen Punkt. Dieser Punkt ist das sogenannte 👉 Baryzentrum

Für den Schwerpunktsatz

Nicht nur einzelne Körper haben einen Schwerpunkt. Auch Systemen von Körper, etwa den Bruchstücken eines zerborstenen Asteroiden, kann man einen gemeinsamen Impuls zuordnen. Der Schwerpunktsatz besagt nun, dass auch dann, wenn ein bewegter Körper, etwa eine Feuerwerksrakete, zerbricht oder explodiert, der Schwerpunkt sich so weiter bewegt, wie es der Schwerpunkt des einzelnen Körper getan hätte. Wesentlich ist, dass keine äußeren Kräfte auf den Körper oder seine Bruchstücke einwirken. Siehe mehr unter 👉 Schwerpunktsatz

Für die Elektrodynamik

Der Satz von der Erhaltung des Impulses wurde zunächst für Körper aus Masse, also "mit Kilogramm" formuliert. Doch als sich im 19. Jahrhundert die Elektrodynamik entwickelte, also die Betrachtung von Geschwindigkeiten, Kräften, Impulsen und Energien von bewegten Ladungen, trat ein Problem auf. Wenn ein Körper mit einer elektrischen Ladung und mit Masse, etwa ein Elektron, durch ein Magnetfeld fliegt, dann wird es in vielen Fällen seine Richtung ändern. Doch welcher andere Körper gleicht dann mit seiner Bewegung den veränderten Impuls des Elektrons aus? Die Antwort auf diese Frage wurde dann elektromagnetischen Feld gesucht. Das aber wiederum führt zu der Konsequenz, dass man immateriellen Objekten "ohne Kilogramm" wie Feldern einen Impuls zuordnen muss. Diesen Weg ist man dann auch tatsächlich gegangen. Siehe dazu mehr im Artikel zur 👉 Impulsdichte

Für die Quantenphysik

Im Kriegsjahr 1917 stellte der damals rund 38 Jahre alte Albert Einstein eine interessante Frage: man wusste zu dieser Zeit, dass Licht einen Impuls hat. Man spricht heute vom sogenannten Licht- oder Strahlungsdruck. Wenn nun aber ein Atom oder Molekül Licht aussendet, so stellt man sich diesen Prozess in Verbindung mit einer Kugelwelle vor. Der Gesamtimpuls der Kugelwelle wäre aber Null, da sie keine Bewegungsrichtung bevorzugt. Wenn nun ein Atom erst ein Lichtteilchen mit Impuls einfängt, und anschließend eine Kugelwelle ohne Impuls aussendet, so kann das zu Widersprüchen mit der Impulserhaltung führen.^[4] Siehe auch 👉 Photonenimpuls

Fußnoten

[1] Die Impulserhaltung der Mechanik "sagt aus, dass der Gesamtimpuls P eines Systems von Masseteilchen erhalten bleibt." In: der Artikel "Impulserhaltung". Spektrum Lexikon der Physik. Stand 22. November 2024. Siehe auch 👉 Impuls

[2] Ob Bewegung aus etwas Unbewegtem entstehen könne und ob Bewegung letztendlich auch wieder ganz verschwinden könne, fragte bereits der antike Philosoph Aristoteles (384 bis 322 v. Chr.): "Ist einst geworden die Bewegung, da sie zuvor nicht war, und geht sie wiederum unter, so daß sich nichts bewegt: oder ward sie weder, noch geht sie unter, sondern war stets und wird stets sein; und kommt dieß unsterblich und unaufhörlich allem was ist, zu; wie ein Leben inwohnend allem, was von Natur besteht?" Seine Antwort entwickelt er über mehrere Kapitel in: Aristoteles: Physik. Achtes Buch. Dort sehr ausführlich in den Kapiteln 1 bis 10. Aristoteles: Physik. Leipzig 1829, S. 191 ff. Online: http://www.zeno.org/nid/20009149295

[3] Schon der antike römische Dichter und Naturphilosoph Lukrez nahm an, dass Bewegung an sich weder entstehen noch vergehen kann. Damit nahm er schon zu Lebzeiten von Cäsar die moderne Idee eines Erhaltes von Impulsen vorweg. Lukrez schrieb: "Nie war des Urstoffs Masse zu dichteren Klumpen geballet Oder durch weiteren Abstand der einzelnen Teilchen gelockert; Denn nichts mehrt sich darin und nichts geht hiervon verloren. Deshalb waren die Körper der Urelemente von jeher Stets in derselben Bewegung wie jetzt und sie werden wohl immer Auch in künftiger Zeit auf die nämliche Art sich bewegen, Und was gewöhnlich entsteht, das wird auch künftig entstehen Unter derselben Bedingung, und leben, erwachsen und blühen, Je nachdem das Gesetz der Natur es für jedes bestimmt hat. Auch kann keine Gewalt die Welt im ganzen verändern; Denn da ist ja kein Ort, wohin sich ein Teilchen des Urstoffs Aus dem Bereiche des Alls zu entfernen vermöchte, noch gibt es Orte, woher in das All sich neue Gewalten ergössen, Um die Natur der Wesen und ihre Bewegung zu ändern." In: Lukrez: Über die Natur der Dinge. Berlin 1957, S. 69-70. Online: http://www.zeno.org/nid/20009209085

[4] Wie der Impulserhaltungssatz in der Quantenphysik zu betrachten sei, untersuchte theoretisch Albert Einstein in den Kriegsjahren 1916 und 1917: "Findet durch Bestrahlung […] mit einem Strahlenbündel durch Einstrahlung […], so wird auf das Molekül [ein] Impuls in der Fortpflanzungsrichtung des Bündels übertragen." Aber auch: "Bei der Energieabgabe durch Ausstrahlung wird im Falle des Planckschen Resonators im ganzen kein Impuls auf den Resonator übertragen, weil nach der klassischen Theorie die Ausstrahlung in einer Kugelwelle erfolgt. Es wurde aber bereits bemerkt, daß wir zu einer widerspruchsfreien Quantentheorie nur gelangen können, indem wir voraussetzen, daß auch der Prozeß der Ausstrahlung ein gerichteter Prozess sei." In: Albert Einstein: Zur Quantentheorie der Strahlung. Physikalische Zeitschriften XVIII, 1917. Dort der §2 Hypothese über den Energieaustausch durch Strahlung. Siehe dazu auch den Artikel zum 👉 Wellenimpuls

[5] Um die Frage nach dem Ursprung jeder Bewegung beantworten zu können, forderten die antiken Denker einen sogenannten unbewegten Beweger. In der späteren christlichen Philosophie setzte man diesen unter anderem auch mit Gott gleich. Siehe mehr zu diesem Gedanken im Artikel 👉 unbewegter Beweger

[6] Oskar Höfling: Physik. Lehrbuch für Unterricht und Selbststudium. Fünfzehnte Auflage. 1994. ISBN: 3-427-41045-5. Dort im Kapitel "2.5.3 Der Impulserhaltungssatz", Seite 118.

[7] Richard T. Weidner; Robert Sells: Elementare moderne Physik. Verlag Friedrich Vieweg & Sohn, Ausgabe von 1982. ISBN: 3-528-8415-4. Dort im Kapitel "1.2 Die Erhaltungssätze der Physik", Seite 3.

[8] Dorn.Bader. Physik SII Gesamtband Gymnasium. Westermann Bildungsmedien. Braunschweig. 2023. ISBN: 978-3-14-152376-8. Dort auf Seite 85.

[9] Metzler Physik. 5. Auflage. 592 Seiten. Westermann Verlag. 2022. ISBN: 978-3-14-100100-6. Dort im Kapitel "1.3.6 Impuls und Impulserhaltung".

[10] David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: Halliday. Physik. Englischer Originaltitel: Fundamentals of Physics. Wiley-VCH Weinheim. 2007. ISBN: 978-3-527-40746-0. Dort im Kapitel "9-6 Die Impulserhaltung", Seite 179.

[11] Richard Feynman: Feynman-Vorlesungen über Physik. Band 1. Mechanik, Strahlung, Wärme. Oldenbourg Verlag. 2007. ISBN:978-3-486-58108-9. Dort im Kapitel "10.2 Die Impulserhaltung", Seite 135.