Definition

Jede Funktion, die sich umformen lässten in f(x) = a·b^T(x) heißt Exponentialfunktion. Das T(x) ist irgendein Term, bei dem eines oder mehrere x'se vorkommen. Bei einer Exponentialfunktion kommt immer ein x in einem Exponenten vor, daher auch der Name. Ist die Basis b der Potenz die Eulersche Zahl e, spricht man auch von einer e-Funktion. Das ist hier näher erklärt.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — f(x) = 2^x mit dem typischen Graphen einer Exponentialfunktion: von links nach rechts erst ein flacher Anstieg, der dann aber schnell immer steiler wird.☛

Allgemeiner Bauplan einer Exponentialfunktion

f(x) = a·b^T(x)

Legende

a = Vorfaktor

b = die Basis: eine beliebige, konstante positive^[1] reelle Zahl.

^ = das Hochzeichen a^x ist dasselbe wie aˣ, sprich: a-hoch-x

T(x) = ein Term (Ausdruck) in dem eines odere mehre x's vorkommen

Beispiele für Exponentialfunktionen

f(x)=2^x als 👉 einfache Exponentialfunktion

f(x)=e^x als Sonderfall 👉 e-Funktion

f(x)=0,5·1,2^x als 👉 erweiterte Exponentialfunktion

f(x)=2^(4x-1) als 👉 allgemeine Exponentialfunktion

Siehe auch 👉 Exponentialfunktionen

Graph einer Exponentialfunktion

Heißt 👉 Exponentialkurve

Der Graph der Grundfunktion f(x)=e^x geht immer durch (0|1).

Der y-Achsenabschnitt ist also immer (0|1).

Der Graph hat nie eine 👉 Nullstelle

Der Graph hat nie einen 👉 Hochpunkt

Der Graph hat nie einne 👉 Tiefpunkt

Der Graph hat nie einen 👉 Wendepunkt

Der Graph ist überall 👉 linksgekrümmt

Typen von Exponentialfunktionen

👉 Einfache Exponentialfunktion [f(x)=a^x]

Erweiterte Exponentialfunktion [f(x)=ab^x]=> 👉 qck

👉 Allgemeine Exponentialfunktion [f(x)=ab^(mx+n)]

👉 e-Funktion [f(x)=e^x]

Anwendungen

Die Exponentialfunktion passt auf viele Wachstums- und Abnahmeprozesse. Typische Beispiele sind die Radioaktivität, die Ausbreitung von Krankheiten, das Abkühlen von Flüssigkeiten oder das Aufladen eines elektrischen Kondensators. Die Basis a wird dann als Wachstumsfaktor interpretiert.

Textaufgaben

Exponentialfunktionen Textaufgaben => 👉 qck

Weltbevölkerungsformel => 👉 qck

Zinseszinsformel => 👉 qck

Halbwertszeit => 👉 qck

👉 Poloniumbombe

Umstellen

👉 Exponentialfunktion nach Änderungsfaktor umstellen

👉 Exponentialfunktion nach Startwert umstellen

👉 Exponentialfunktion nach Exponent umstellen

Aufstellen

Einfache Exponentialfunktion aus zwei Punkten => 👉 qck

Erweiterte Exponentialfunktion aus zwei Punkten => 👉 qck

👉 Änderungsfaktor b schnell bestimmen

👉 Exponentialgleichung aus Versuch

Nullstellen

Nullstellen von Exponentialfunktionen bestimmen => 👉 qck

Versuche

Versuch Atomwürfelzerfall => 👉 qck

👉 Versuch Abkühlkurve [Wasser]

Fußnoten

[1] Man betrachtet auch Exponentialfunktionen mit negativen Basen. Doch das führt zu einer Mathematik weit jenseits der schulüblichen Themn. Man muss sich dann zum Beispiel fragen, was die Wurzel einer negativen Zahl sein soll oder was -1,3 hoch -0,2 bedeuten soll. Wie kompliziert das Thema wird, zeigt, dass sich einige wissenschaftliche Artikel genau damit beschäftigen, z. B. in: Victor E. Vizcarra: Generalization of the Logarithm Function and of the Exponential Function with Arbitrary Base. In: arXiv:0811.0360 Online: https://doi.org/10.48550/arXiv.0811.0360