Exponentialfunktion ableiten
Anleitung
Basiswissen
Am leichtestens ist f(x)=eˣ, nicht viel schwerer ist f(x)=aˣ. Neben diesen einfachen Formen der e-Funktionen wird hier auch erklärt, wie man kompliziertere Varianten von Exponentialfunktionen ableitet, zum Beispiel f(x)=e⁽⁴ˣ⁻²⁾ oder f(x)=4⁽⁴ˣ⁻²⁾. Die Grundidee ist immer die sogenannte Kettenregel.
f(x)=eˣ: die elementare e-Funktion
f(x) = eˣ: das ist sogenannte elementare e-Funktion, ein Sonderfall einer Exponentialfunktion. Man erkennt sie daran, dass die Basis die eulersche Zahl e ist (etwa 2,718). Diese Funktion gibt abgeleitet f'(x) = eˣ selbst. Beim Ableiten verändert sich der Funktionsterm also nicht. Das heißt anschaulich: der y-Wert des Graphen ist vom Zahlenwert her auch die Steigung an dem entsprechenden Punkt. Die elementare e-Funktion ist der Kernbaustein des Themas exponentielles Wachstum. Siehe auch elementare e-Funktion ↗
f(x)=e⁽⁴ˣ⁻²⁾: die allgemeine e-Funktion
f(x) = e⁽⁴ˣ⁻²⁾: diese allgemeine e-Funktion mit der Basis e (eulersche Zahl) und einem beliebigem Exponenten ist recht leicht abzuleiten. Man leitet den Exponenten ab, setzt diesen abgeleiteten Exponenten in eine Klammer und multipliziert diese Klammer mit dem ursprünglichen Funktionsterm. Das gibt die fertige Ableitung. Beispiel: f(x) = e^(4x²-2x) abgeleitet gibt f'(x) = (8x-2)·e^(4x²-2). Lies dazu unter e-Funktion ableiten ↗
f(x) = aᵍ⁽ˣ⁾: die allgemeine Exponentialfunktion
f(x) = aᵍ⁽ˣ⁾: hier steht als Basis a irgendeine beliebige Zahl. Die Basis kann die eulersche Zahl e sein, aber auch jede andere Zahl. Eine Exponentialfunktion f(x) = aᵍ⁽ˣ⁾ wird abgeleitet immer zu f'(x) = ln(a)·g'(x)·aᵍ⁽ˣ⁾. Das ln heißt ausgesprochen natürlicher Logarithmus ↗
f(x) = aᵍ⁽ˣ⁾: in Worten erklärt
In Worten: Das kleine a ist die Basis der Potenz, das g(x) irgendein Term der als Exponent der Potenz steht. Anders gesagt: alles was über der Basis als Exponent steht ist dann das g(x). Dann ist die Ableitung davon: der natürliche Logarithmus (ln) von der Basis und das Ganze mal der ersten Ableitung des Exponenten, also die Ableitung von g(x) und das Ganze mal der ursprünglich gegebenen Exponentialfunktion. Dabei setzt man die Ableitung von g(x) sicherheitshalber immer in eine Klammer.
f(x) = 24·aᵍ⁽ˣ⁾: ein Faktor vor der Potenz
Steht vor der Potenz eine reine Zahl als Faktor (Mal), dann bleibt dieser Faktor beim Ableiten unverändert erhalten. Die Regel dahinter ist die sogenannte Faktorregel des Ableitens. Beispiel: f(x) = 24·aᵍ⁽ˣ⁾ gibt abgeleitet f'(x) = 24·ln(a)·g'(x)·aᵍ⁽ˣ⁾. Siehe auch Ableiten über Faktorregel ↗
Die Exponentialfunktion ableiten über die Kettenregel
Die Regel hinter all diesen Beispielen hier ist die sogenannte Kettenregel der Analysis. Sie wurde bei allen Beispielen oben angewandt. Die Kettenregel besagt, dass man erst die innere Funktion ableitet und diese dann multipliziert mit der äußeren Funktion abgeleitet. Die innere Funktion bei der Exponentialfunktion ist immer der Exponent. Man leitet also immer erst einmal den Exponenten für sich alleine ab. Das wird dann multipliziert mit der Ableitung der äußeren Funktion. Das ist näher erklärt im Artikel Ableiten über Kettenregel ↗
Beispiele
- f(x) = eˣ -> ableiten -> f'(x) = eˣ
- f(x)=eᵍ⁽ˣ⁾ -> ableiten -> f'(x) = g'(x)·eᵍ⁽ˣ⁾
- f(x)=aᵍ⁽ˣ⁾ -> ableiten -> f'(x) = ln(a)·g'(x)·aᵍ⁽ˣ⁾
Legende
- f(x) = die gegebene Exponentialfunktion ↗
- g(x) = ein Term mit oder x als Exponent von a Exponent ↗
- g'(x) = die erste Ableitung des Expontenen erste Ableitung ↗
Rechentipps
- a hoch 0 gibt (fast) immer 1 hoch null ↗
- ln(e) ist immer genau 1 ln(e) ↗
Fußnoten
- [1] Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Ableitungen im Anhang am Buchende. Siehe auch Der Bronstein ↗