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Ableiten über Kettenregel

Analysis

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Basiswissen｜ Die Grundindee: verkettete Funktionen｜ Die Ableitung einer verketteten Funktion｜ Die Kettenregel in formaler Schreibweise｜ Beispiele zur Kettenregel｜ Typ I: (x+2)³｜ Typ II: sin(x²+2)｜ Typ III: e hoch Term mit x｜ Typ IV: a hoch Term mit x｜ Was ist eine Verkettung von Funktionen?｜ Was ist die übliche Schreibweise für eine Verkettung?


Basiswissen


Die Funktion f(x)=(4x+2)³ gibt abgeleitet 4·3·(4x+2)². Die verwendete Regel war als Merkspruch: innere Ableitung (das gab hier die Zahl 4) mal äußerer Ableitung (das gab das 3·(4x+2)². Das wird hier kurz vorgestellt.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Man sieht die Ableitung von: f(x) = (x²+4)³☛


Die Grundindee: verkettete Funktionen


f(x)=(4x+2)³ kann man sich wie zwei getrennt Funktionen vorstellen, die nacheinander gerechnet werden. Man hat immer einer innere und eine äußere Funktion. Die innere Funktion ist die, die man zuerst ausrechnet.

MERKSATZ:

1.0 Man hat immer eine innere und eine äußere Funktion.

Um herauszufinden, was die innere und äußere Funktionen sind, kann man den Funktionswert für eine konkrete Zahl für x ausrechnen. Man kann für x zum Beispiel die Zahl 2 nehmen (es ist egal, welche Zahl man nimmt). Um den Funktionswert auszurechnen, würde man zurest 4·2+2 rechnen. Das war der Term für die innere Funktion (nämlich 4x+2). Dann hat man als Ergebnis die Zahl 10.

MERKSATZ:

2.0 Was man beim Einsetzen von Zahlen zuerst ausrechnen würde ist immer die innere Funktion.

Das Ergebnis der inneren Funktion - hier die Zahl 10 - würde man dann in x³ einsetzen. Man rechnet immer: das Ergebnis der inneren Funktion wird als Zahl in die äußere Funktion eingesetzt. Das gibt hier dann 10³, also die Zahl 1000.

MERKSATZ:

3.0 Das, wo man das Ergebnis der inneren Funktion einsetzt, ist die äußere Funktion.

Nicht alle komplizierter aussehende Funktionen sind automatisch auch ein verkettete Funktion. So ist zum Beispiel f(x)=x·sin(x) keine verkettete Funktion. Wer tiefer in die Mathematik einsteigen möchte, wird langfristig viel Nutzen haben, die Idee der Verkettung immer besser zu verstehen. Siehe dazu auch verkettete Funktion ↗

Die Ableitung einer verketteten Funktion


Um eine verkettete Funktion abzuleiten rechnet man: innere Funktion abgeleitet mal äußere Funktion abgeleitet. Bei f(x) = (4x+2)³ ist 4x+2 der Term der inneren Funktion und die Klammer hoch 3 der Term der äußeren Funktion.

MERKSATZ:

f'(x) = innere Funktion abgeleitet mal äußerer Funktion abgeleitet

Die Ableitung der inneren Funktion 4x+2 ist dann 4. Die äußere Funktion abgeleitet ist 3·(4x+2)². Bei der Ableitung der äußeren Funktion betrachtet man die innere Funktion wie einen x-Wert, er wird nicht zusätzlich für sich abgeleitet, das ist ja schon sozusagen in der Ableitung der inneren Funktion enthalten.

Die Kettenregel in formaler Schreibweise


  • Äußere Funktion abgeleitet mal innere Funktion abgeleitet
  • (g∘f)(x) = g(f(x)) abgeleitet gibt: g’(v(x))·v’(x)
  • g∘f liest man: g Kringel f
  • Innere Funktion: f(x)
  • Äußere Funktion: g(x)

Beispiele zur Kettenregel


  • Typ I: f(x) = (x²+4x)³ -> ableiten -> f'(x) = 3(2x+4)²
  • Typ II: f(x) = sin(5x²+1x) -> ableiten -> f'(x) = (10x+1)·sin(5x²+1x)
  • Typ III: f(x) = e^(x²-5x) -> ableiten -> f'(x) = (2x+5)·e^(x²-5)

Typ I: (x+2)³


  • Beispiel: f(x) = (x²+2)³
  • Allgemein: Klammerterm hoch Zahl
  • Ableiten: Klammerterm abgeleitet mal Hochzahl mal Klammerterm hoch Zahl-minus-1
  • Beispiel: f'(x) = 2x·3·(x²+2)²

Typ II: sin(x²+2)


  • Beispiel: f(x) = sin(x²+2)
  • Allgemein: sinus von Klammerterm
  • Beispiel: f'(x) = 2x·cos(x²+2)
  • Ableiten: Klammerterm abgeleitet mal cos des Klammerterms

Typ III: e hoch Term mit x


  • Beispiel: f(x) = e hoch (x²+2)
  • Allgemein: e hoch irgendeinen Exponenten
  • Ableiten: Exponent ableiten mal ursprünglicher Funktionsterm
  • Beispiel: f'(x) = 2x mal e hoch (x²+2)

Typ IV: a hoch Term mit x


  • Beispiel: f(x) = 4 hoch (x²+2)
  • Allgemein: r hoch irgendeinen Exponenten
  • Ableiten: ln(a) mal Exponent abgeleitet mal ursprünglicher Funktionsterm
  • Beispiel: f'(x) = ln(4) mal 2x mal e hoch (x²+2)

Was ist eine Verkettung von Funktionen?


  • Das allgemeine Muster hinter allen Beispielen ist die Verkettung:
  • Anschaulich ist eine Komposition eine Funktion einer Funktion:
  • Der Funktionsterm der einen Funktion wird eingesetzt in die andere:
  • Beispiel: f(x) = (x²+2)³
  • Man kann x²+2 als eigenen Funktionsterm auffassen.
  • Man hat dann eine innere Funktion g(x) = x²+2
  • Diese innere Funktion g(x) wird dann noch hoch drei gerechnet.
  • Man setzt also gedanklich g(x) ein in: h(x) = x³
  • h(x) nennt man dann die äußere Funktion.
  • Eine Funktion eingesetzt in eine andere nennt man eine Verkettung.

Was ist die übliche Schreibweise für eine Verkettung?


  • Beispiel: g(x)=x² und h(x)=(x+7) gibt g(h(x)) = (x+7)²
  • g(x) verkettet mit h(x) schreibt man zum Beispiel: g(h(x))
  • g ist dann die äußere Funktion und h die innere Funktion.