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Ableiten über Kettenregel


Innere Ableitung mal äußere Ableitung


Basiswissen


f(x) = (x+2)³ oder f(x) = e^(x²-5) oder auch f(x) = sin(5x+3) sind typische verkettete Funktionen: man hat eine innere Funktion deren Funktionswert sozusagen als Funktionsargument in die äußere Funktion eingesetzt wird. Die Ableitung solcher Funktionen ist vergleichsweise einfach. Hier wird erklärt, wie man solche Funktion ableiten kann. Zur Definition selbst lies unter => Verkettete Funktion

Wie lautet die Kettenregel?


◦ Äußere Funktion abgeleitet mal innere Funktion abgeleitet
◦ (g∘f)(x) = g(f(x)) abgeleitet gibt: g’(v(x))·v’(x)
◦ g∘f liest man: g Kringel f
◦ Innere Funktion: f(x)
◦ Äußere Funktion: g(x)

Typ: (x+2)³


◦ Beispiel: f(x) = (x²+2)³
◦ Allgemein: Klammerterm hoch Zahl
◦ Ableiten: Klammerterm abgeleitet mal Hochzahl mal Klammerterm hoch Zahl-minus-1
◦ Beispiel: f'(x) = 2x·3·(x²+2)²

Typ: sin(x²+2)


◦ Beispiel: f(x) = sin(x²+2)
◦ Allgemein: sinus von Klammerterm
◦ Ableiten: Klammerterm abgeleitet mal cos des Klammerterms
◦ Beispiel: f'(x) = 2x·cos(x²+2)

Typ: e hoch Term mit x


◦ Beispiel: f(x) = e hoch (x²+2)
◦ Allgemein: e hoch irgendeinen Exponenten
◦ Ableiten: Exponent ableiten mal ursprünglicher Funktionsterm
◦ Beispiel: f'(x) = 2x mal e hoch (x²+2)

Was ist eine Verkettung von Funktionen?


◦ Das allgemeine Muster hinter allen Beispielen ist die Verkettung:
◦ Anschaulich ist eine Komposition eine Funktion einer Funktion:
◦ Der Funktionsterm der einen Funktion wird eingesetzt in die andere:
◦ Beispiel: f(x) = (x²+2)³
◦ Man kann x²+2 als eigenen Funktionsterm auffassen.
◦ Man hat dann eine innere Funktion g(x) = x²+2
◦ Diese innere Funktion g(x) wird dann noch hoch drei gerechnet.
◦ Man setzt also gedanklich g(x) ein in: h(x) = x³
◦ h(x) nennt man dann die äußere Funktion.
◦ Eine Funktion eingesetzt in eine andere nennt man eine Verkettung.
◦ Lies mehr unter => Verkettete Funktion

Was ist die übliche Schreibweise für eine Verkettung?


◦ Beispiel: g(x)=x² und h(x)=(x+7) gibt g(h(x)) = (x+7)²
◦ g(x) verkettet mit h(x) schreibt man zum Beispiel: g(h(x))
◦ g ist dann die äußere Funktion und h die innere Funktion.
◦ Mehr unter => Verkettetete Funktion









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