R


Verkettete Funktion


g∘f = g(f(x))


Basiswissen


Der Funktionswert y einer Funktion wird als Argument x in eine andere Funktion eingesetzt. Diese Hintereinanderausführung zweier (oder auch mehrerer) Funktionen nennt man eine Verkettung von Funktion oder auch eine Komposition, man spricht auch von einer zusammengesetzten Funktion[2]. Das ist hier näher erklärt.

Die Grundidee einer Verkettung


Man hat zwei Funktionen. Wenn man den Funktionswert der ersten Funktion ausrechnet und dann als x-Wert für die zweite Funktion benutzt, dann hat man die beiden Funktionen verkettet. Wenn man zum Beispiel erst f(x)=2+x ausrechnet für x=3, dann erhält man den Funktionswert 5. Diese 5 setzt man dann als x-Wert, auch Argument genannt, in die zweite Funktion g(x)=x² ein. Dann erhält man als Ergebnis 25. Dieses Hintereinander-Ausführen von zwei oder mehr Funktionen ist die Verkettung.

Wie schreibt und spricht man die Verkettung?



Zwei Funktionen verketten: Schritt-für-Schritt



Was sind die innere und die äußere Funktion?


Bei verketteten Funktion spricht man oft von einer inneren und einer äußeren Funktion. Im Beispiel g(f(x)) = (x+2)² wäre f(x) = x+2 die innere Funktion und g(x) = x² ist dann die äußere Funktion. Es gibt eine einfache Methode, um die innere und äußere Funktion zu unterscheiden. Man versucht gedanklich, den Funktionswert für die Verkettung mit x=1 auszurechnen. Den Funktionsterm, den man zuerst ausrechnen muss, gehört dann immer zur inneren Funktion. Bei g(f(x)) = (x+2)² muss man zuerst x+2 ausrechnen. Also ist x+2 der Term der inneren Funktion. Dann rechnet man mit dem Ergebnis weiter hoch zwei. Das Quadrieren ist dann die äußere Funktion.


Eine Funktionsverkettung sicher erkennen



Was ist eine Verknüpfung?



Wie leitet man verkettete Funktionen ab?


Der übliche Merksatz dazu ist: innere Funktion abgeleitet mal äußere Funktion abgeleitet. Sind f(x)=x² und g(x)=cos(x) verkettet zu v(x)=cos(x²) dann ist die Ableitung v'(x)=-2x·sin(x²). Das ist ausführlich erklärt im Artikel Ableiten über Kettenregel ↗

Wie leitet man verkettete Funktionen auf?



Fußnoten