Verkettete Funktion


g∘f = g(f(x))


Basiswissen


Definition: Der Funktionswert y einer Funktion wird als Argument x in eine andere Funktion eingesetzt. Diese Hintereinanderausführung zweier (oder auch mehrerer) Funktionen nennt man eine Verkettung von Funktion. Ein häufig benutztes Synonym ist Komposition. Die Verkettung ist ein Sonderfall einer Verknüpfung.

Ein Zahlenbeispiel


◦ Man hat die Funktion: g(x) = x² und f(x) = 2+x
◦ g∘f wäre dann g verkettet mit f oder auch: g(f(x))
◦ f(x) nennt man die innere Funktion und g(x) die äußere.
◦ Angenommen man betrachtet zum Beispiel die Zahl x=5.
◦ Man setzt die 5 dann erst in die innere Funktion ein: f(5) = 2+5 = 7
◦ Dieses Ergebnis setzt man dann in die äußere Funktion ein: g(7) = 49.
◦ Zusammengefasst als Verkettung könnte man schreiben: g(f(2)) = 49.

Erkennungsmerkmal


◦ Man betrachtet den Funktionsterm (rechte Seite der Gleichung).
◦ Kommt eine unabhängige Variable vor (meist das x), dann gilt:
◦ Das x darf nur innerhalb der inneren Funktion vorkommen.
◦ Außerhalb der inneren Funktion darf x nicht vorkommen.
◦ Das Ergebnis der inneren Funktion gilt als Ausgangszahl für die äußere Funktion.
◦ Siehe auch => Verkettete Funktionen

Wie schreibt und spricht man die Verkettung?


◦ g∘f spricht man als "g nach f" oder "g komponiert mit f" oder "g Kringel f".
◦ Siehe auch unter => g∘f

Was ist eine Verknüpfung?


◦ Eine Verknüpfung ein Überbegriff, Verkettung davon ein Sonderfall.
◦ Bei einer Verknüpfung werden zwei oder mehr Funktionen irgendwie verbunden:
◦ Beispiel: f(x)=x und g(x)=e^x werden verknüpft zu f(x)·g(x)=x·e^x
◦ Als Verknüpfung möglich sind zum Beispiel die Addition, Multiplikation oder jede beliebige andere Operation.
◦ Bei einer Verkettung hingegen muss der Wert der einen Funktion immer als Argument in die andere eingesetzt werden.
◦ Mehr dazu unter => Verknüpfung

Wie leitet man verkettete Funktionen ab?


◦ Man rechnet immer: innere Funktion abgeleitet mal äußere Funktion abgeleitet
◦ Mehr dazu, auch Beispiele, unter => Kettenregel [ableiten]

Wie leitet man verkettete Funktionen auf?


◦ Man soll die Aufleitung finden für: g(f(x))·f'(x)
◦ Lies mehr dazu unter => Integrieren über Substitution