Basiswissen

Gegeben ist eine Funktion, die sich als Produkt zweier anderer Funktionen denken lässt. Man könnte immer den Ansatz über Produktintegation (partiell integrieren) probieren. Ist aber die eine Funktion die Ableitung der anderen, führt die Substitution oft schneller und mit weniger Mühe zum Ziel. Der Ansatz führt auch oft weiter, wenn ein Teil der Funktion abgeleitet einen anderen Teil der Funktion ergibt.

Anleitung zum Integrieren über Substitution

Wähle als g(x) das, was abgeleitet f(x) ergäbe.

Schreibe statt g(x) dann den Buchstaben u.

Schreibe statt g'(x)·dx das Kürzel du.

Man hat dann: ∫u·du

Löse dieses Integral.

Am Ende: Rücksubstitution

Setze für u wieder g(x) ein.

Was bedeutet dx und du?

du/dx im Zusammenhang mit einer Ableitung ist sogenannte Leibniz-Notation ↗

du/dx wird oft synonym verwendet für f'(x), also die erste Ableitung ↗

Für die Funktion u(x) = x² kann man schreiben: u'(x) = 2x

Statt f'(x) = 2x kann man alternativ schreiben: du/dx = 2x

du/dx = 2x ist dann die Leibniz-Notation ↗

du = 2x·dx ist dann eine Äquivalenzumformung ↗

dx = du/2x ist eine weitere mögliche Umformung ↗

Kürzen als gewünschter Effekt bei der Substitution

Man kann als über die Leibniznotation immer einen Term für dx bestimmen.

Diesen Term setzt man dann in die gegebene Funktion für dx ein.

Die Ableitung g'(x) steht dabei immer automatisch im Nenner [unten] ↗

Damit ergibt sich immer, dass man g'(x) sozusagen "wegkürzen" kann.

Das ist der wesentliche Effekt des Integrierens über Substitution.

Zur Wiederholung siehe auch Kürzen ↗

Rechenbeispiel zum Integrieren über Substitution

∫cos(x²)·2x·dx

x² ist abgeleitet 2x.

Das muss man erst erkannt haben.

Dann gilt: x²=g(x)=u und 2x·dx=du

Substitution: ∫cos(x²)·2x·dx = ∫cos(u)·du

Als Stammintegral: ∫cos(u)·du = sin(u)

Rücksubsitution: u = g(x) =x²

Also: ∫cos(x²)·2x·dx = sin(x²) ✔

Fußnoten

[1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Seite 453. Siehe auch Der Papula ↗