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Integrieren über Substitution

Für Integrale der Form ∫f(g(x))·g'(x)·dx

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Basiswissen


Gegeben ist eine Funktion, die sich als Produkt zweier anderer Funktionen denken lässt. Man könnte immer den Ansatz über Produktintegation (partiell integrieren) probieren. Ist aber die eine Funktion die Ableitung der anderen, führt die Substitution oft schneller und mit weniger Mühe zum Ziel. Der Ansatz führt auch oft weiter, wenn ein Teil der Funktion abgeleitet einen anderen Teil der Funktion ergibt.

Anleitung zum Integrieren über Substitution


  • Wähle als g(x) das, was abgeleitet f(x) ergäbe.
  • Schreibe statt g(x) dann den Buchstaben u.
  • Schreibe statt g'(x)·dx das Kürzel du.
  • Man hat dann: ∫u·du
  • Löse dieses Integral.
  • Am Ende: Rücksubstitution
  • Setze für u wieder g(x) ein.

Was bedeutet dx und du?


  • Für die Funktion u(x) = x² kann man schreiben: u'(x) = 2x
  • Statt f'(x) = 2x kann man alternativ schreiben: du/dx = 2x

Kürzen als gewünschter Effekt bei der Substitution


  • Man kann als über die Leibniznotation immer einen Term für dx bestimmen.
  • Diesen Term setzt man dann in die gegebene Funktion für dx ein.
  • Damit ergibt sich immer, dass man g'(x) sozusagen "wegkürzen" kann.
  • Das ist der wesentliche Effekt des Integrierens über Substitution.

Rechenbeispiel zum Integrieren über Substitution


  • ∫cos(x²)·2x·dx
  • x² ist abgeleitet 2x.
  • Das muss man erst erkannt haben.
  • Dann gilt: x²=g(x)=u und 2x·dx=du
  • Substitution: ∫cos(x²)·2x·dx = ∫cos(u)·du
  • Als Stammintegral: ∫cos(u)·du = sin(u)
  • Rücksubsitution: u = g(x) =x²
  • Also: ∫cos(x²)·2x·dx = sin(x²) ✔

Fußnoten


  • [1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Seite 453. Siehe auch Der Papula ↗