Integrieren über Substitution

Für Integrale der Form ∫f(g(x))·g'(x)·dx

Basiswissen

Anleitung zum Integrieren über Substitution

• Wähle als g(x) das, was abgeleitet f(x) ergäbe.
  

• Schreibe statt g(x) dann den Buchstaben u.
  

• Schreibe statt g'(x)·dx das Kürzel du.
  

• Man hat dann: ∫u·du
  

• Löse dieses Integral.
  

• Am Ende: Rücksubstitution
  

• Setze für u wieder g(x) ein.
  

Was bedeutet dx und du?

• du/dx im Zusammenhang mit einer Ableitung ist sogenannte Leibniz-Notation ↗
  

• du/dx wird oft synonym verwendet für f'(x), also die erste Ableitung ↗
  

• Für die Funktion u(x) = x² kann man schreiben: u'(x) = 2x
  

• Statt f'(x) = 2x kann man alternativ schreiben: du/dx = 2x
  

• du/dx = 2x ist dann die Leibniz-Notation ↗
  

• du = 2x·dx ist dann eine Äquivalenzumformung ↗
  

• dx = du/2x ist eine weitere mögliche Umformung ↗
  

Kürzen als gewünschter Effekt bei der Substitution

• Man kann als über die Leibniznotation immer einen Term für dx bestimmen.
  

• Diesen Term setzt man dann in die gegebene Funktion für dx ein.
  

• Die Ableitung g'(x) steht dabei immer automatisch im Nenner [unten] ↗
  

• Damit ergibt sich immer, dass man g'(x) sozusagen "wegkürzen" kann.
  

• Das ist der wesentliche Effekt des Integrierens über Substitution.
  

• Zur Wiederholung siehe auch Kürzen ↗
  

Rechenbeispiel zum Intergrieren über Substitution

• ∫cos(x²)·2x·dx
  

• x² ist abgeleitet 2x.
  

• Das muss man erst erkannt haben.
  

• Dann gilt: x²=g(x)=u und 2x·dx=du
  

• Substitution: ∫cos(x²)·2x·dx = ∫cos(u)·du
  

• Als Stammintegral: ∫cos(u)·du = sin(u)
  

• Rücksubsitution: u = g(x) =x²
  

• Also: ∫cos(x²)·2x·dx = sin(x²) ✔
  

Fußnoten

• [1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Seite 453. Siehe auch Der Papula ↗