R


Integrieren


Mathematik


Definition


Zu f(x) eine Aufleitung F(x) oder den konkreten Zahlenwert für bestimmte Grenzen dafür berechnen: beides wird oft integrieren oder auch aufleiten genannt. Hier steht eine kurze Unterscheidung der zwei Begriffe.

Integrieren mit F(x) als Ergebnis (aufleiten)


f(x)=2x aufgeleitet gibt F(x)=x². Diese Funktion groß-F-von-x nennt man auch eine Stammfunktion von f(x). Probe: F(x)=x² abgeleitet gibt wieder f(x)=2x. Eine Stammfunktion F(x) zu bestimmen nennt man normalerweise nicht integrieren sondern eher aufleiten ↗

Integrieren mit einer Zahl (Das integral) als Ergebnis


f(x)=2x integriert in den Grenzen von x=3 bis x=5 gibt die Zahl 16: Man bildet zuerst eine Stammfunktion F(x), im Beispiel hier F(x)=x². Dann rechnet die rechte Grenze dort eingesetzt minus die linke Grenze eingesetzt, im Beispiel also: F(5)-F(3) = 25-9 = 16. Dieses Zahlenergebnis nennt man auch das Integral. Es entspricht anschaulich dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse. Diese Bedeutung von integrieren ist die übliche. Die eindeutige Bezeichnung ist bestimmtes Integral berechnen ↗

Integrieren als Grundlagenmethode


Die anschauliche Bedeutung des Integrierens ist es, zum Graphen einer gegebenen Funktion f(x) die Fläche zu berechnen, die dieser Graph zwischen zwei ebenfalls gegebenen x-Werten mit der x-Achse einschließt. Das Grundverfahren dazu ist es, die gesuchte Fläche in viele kleine senkrechte Säulen einzuteilen und deren angenäherte Flächeninhalte alle aufzuaddieren. Die historisch ursprüngliche Bedeutung von Integrieren war eben diese Addition von kleinsten Teilflächen. Lies mehr dazu unter Säulenmethode ↗

Integrieren von Graphen


Man kann für einen gegebenen Graphen von f(x) auch den Graphen der Aufleitungsfunktion F(x) qualitativ skizzieren. Die Grundidee dazu ist, dass die Steigung von f(x) für jeden x-Wert dieselbe Zahl ist wie der Funktionswert von F(x). Das heißt zum Beispiel, dass alle Extrempunkte von f(x) für F(x) den Funktionswert 0 haben. Lies mehr unter graphisch aufleiten ↗

Integrieren als Einfügung in ein größeres Ganzes


England hatte über Jahrhunderte versucht, Nordirland in seinen Staatskörper zu integrieren. Integrieren außerhalb der Mathematik kann so viel heißen wie etwas in ein größeres Ganzes einzugliedern. So können auch neue Mitarbeiter in die bestehende Belegschaft einer Firma integriert werden oder zugezogene Personen in eine bestehende Dorfgemeinschaft. Ein Beispiel aus der biologischen Evolution ist die dauerhafte symbiotische Einverleibung von kleineren Lebewesen in größere Lebewesen, die sogenannte Endosymbiose ↗

Integrieren als Einswerdung aus verschiedenen Teilen


Wenn man in einem Unternehmen Produktionsprozesse integriert oder von einer integrierten Lösung spricht, dann meint dass, dass verschiedene Teile und Abläufe innerhalb des Unternehmens passend aufeinander abgestimmt wurden. Integrieren heißt dann so viel wie aus Teilen ein Ganzes machen. In der Evolution habe sich so immer wieder Einzellige Lebewesen zu übergeordneten Mehrzellern integriert. Man spricht von sogenannten Metasystem-Transitionen oder auch einfach von einer Integration (Biologie) ↗

Fußnoten