Basiswissen

Liste von Standardaufleitungen - Aufleitung meint hier: eine Stammfunktion F(x) einer gegebenen Funktion f(x). Aufleitungen häufig gesuchter Funktionen nennt man oft auch Stammintegrale. Hier steht eine Übersicht häufiger und wichtiger Stammintegrale.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Neben diesen Grundregeln gibt es noch sehr viele weitere spezielle Regeln. Anders als beim Ableiten gibt es beim Aufleiten nur wenige einfach handhabbare Funktionen. Es wird deshalb viel mit Nachschlagewerken gearbeitet.☛

Kurzübersicht häufiger Aufleitungen

∫0·dx = 0

∫1·dx = x

∫k·dx = kx

∫5·dx = 5x

∫x²·dx = ⅓·x³

∫xⁿ·dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) wenn n≠-1

∫xⁿ·dx = ln(x) wenn n=-1

∫aˣ·dx = ln(a)·aˣ

∫(1/x)·dx = ln|x|

∫eˣ·dx = eˣ

∫eᵏˣ·dx = (eˣ)/k

∫logₐ(x)·dx = [x·ln(x)-x]/[ln(a)]

∫sin(x)·dx = -cos(x)

∫cos(x)·dx = sin(x)

∫tan(x)·dx = -ln|cos(x)|

∫sin²(x)·dx = -0,25·sind(2x)+0,5x

∫cos²(x)·dx = ½·[x-sin(x)·cos(x)]

Weitere Aufleitungen unter => pdf

Grundtypen

f(x) = a ⭢ F(x) = ax

f(x) = x ⭢ F(x) = x²:2

f(x) = x² ⭢ F(x) = x³:3

f(x) = 1:x ⭢ F(x) = ln|x|

Aufleitungen von Wurzelfunktionen

f(x) = Wurzel von (x) ⭢ F(x) = (2/3)·x^1,5

f(x) = Wurzel von (x-a) ⭢ F(x) = (2/3)·(x-a)^1,5

Aufleitungen von e-Funktionen

f(x) = e^x ⭢ F(x) = e^x

f(x) = e^(ax) ⭢ F(x) = (1/a)·e^(ax)

Aufleitungen von Exponentialfunktionen

f(x) = a^x ⭢ F(x) = (a^x)/ln(a)

Aufleitungen von Logarithmusfunktionen

f(x) = ln(ax) ⭢ F(x) = x · ln(ax) - x

f(x) = x·ln(x) ⭢ F(x) = 0,5x²·ln(x) - x²:4

Aufleitungen von trigonometrische Funktionen

f(x) = sin(x) ⭢ F(x) = -cos(x)

f(x) = cos(x) ⭢ F(x) = sin(x)

f(x) = tan(x) ⭢ F(x) = ln[cos(x)]

f(x) = sin(ax) ⭢ F(x) = -(1/a)·cos(ax)

f(x) = cos(ax) ⭢ F(x) = (1/a)·sin(ax)

f(x) = tan(ax) ⭢ F(x) = -(1/a)·ln[cos(ax)]

Ein Hinweis zu Aufleitungen

Das Aufleiten, das heißt hier, die Bestimmung einer Stammfunktion, kann sehr schnell sehr schwer bis unmöglich werden. Man kann zwar so gut wie jede Funktion mehr oder minder aufwändig ableiten. Aber beim Aufleiten ist es eher so, dass es einige wenige Funktionstypen gibt, die man mit vertretbarem Aufwand oder überhaupt aufleiten kann, während es eine große Anzahl von Funktionen gibt, die extrem schwer aufzuleiten sind oder für die man gar keine Stammfunktion kennt. Daher sind bei Aufleitungen Nachschlagewerke so wichtig. Das klassische Beispiel für eine nicht aufleitbare Funktion steht im Artikel e^(x^2) aufleiten ↗

Fußnoten

[1] Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Seite 495. Siehe auch Der Bronstein ↗