Basiswissen

Was genau heißt aufleiten?

• Aufleitung mit F(x) als Ergebnis Stammfunktion bestimmen ↗
  

• Aufleiten mit einer Zahl als Ergebnis Integrieren ↗
  

Wie geht man am besten vor?

1. Stammintegrale nachschlagen

• Für viele Funktionen wie f(x) = x² oder f(x) = sin(x) gibt es Listen von Stammfunktionen.
  

• Diese Standardard-Aufleitungen aus einer Formelsammlung nennt man auch Stammintegrale.
  

• Man kann sie direkt übernehmen ohne dass man selbst aufleiten muss.
  

• Das ist oft die einfachste und schnellste Methode:
  

• ∫x²·dx = ⅓·x³
  

• ∫xⁿ·dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) wenn n≠-1
  

• ∫xⁿ·dx = ln(x) wenn n=-1
  

• ∫(1/x)·dx = ln|x|
  

• ∫0·dx = 0
  

• ∫1·dx = x
  

• ∫5·dx = 5x
  

• ∫aˣ·dx = ln(a)·aˣ
  

• ∫cos(x)·dx = sin(x)
  

• ∫cos²(x)·dx = ½·[x-sin(x)·cos(x)]
  

• ∫eˣ·dx = eˣ
  

• ∫eᵏˣ·dx = (eˣ)/k
  

• ∫k·dx = kx
  

• ∫logₐ(x)·dx = [x·ln(x)-x]/[ln(a)]
  

• ∫sin(x)·dx = -cos(x)
  

• ∫sin²(x)·dx = ½·[x-sin(x)·cos(x)]
  

• ∫tan(x)·dx = -ln|cos(x)|
  

• Weitere Lösungen unter Aufleitungen ↗
  

2. Potenzregel (x²)

• Passt für: x hoch Zahl
  

• f(x) = x¹ wird aufgeleitet zu F(x) = ½·x²
  

• x hoch n mit n als irgendeine Zahl kann man immer aufleiten zu:
  

• 1 durch n+1 und das mal x hoch n+1
  

• In Worten: Hochahl um eins erhöhen …
  

• dann Kehrwert von neuer Hochzahl als Faktor vorziehen:
  

• Mehr unter aufleiten über Potenzregel ↗
  

3. Summenregel (2x²+2x)

• Passt für: Pluskette
  

• Man kann Summen (+) gliedweise aufleiten:
  

• f(x) = 4x+2 wird aufgeleitet zu F(x) 2x²+2x
  

• Mehr unter Aufleiten über Summenregel ↗
  

4. Differenzregel (2x²-2x)

• Passt für: Minuskette
  

• Man kann Differenzen gliedweise aufleiten:
  

• f(x) = 4x-2 wird aufgeleitet zu F(x) = 2x²-2x
  

• Der Funktionsterm ist eine Differenz, etwa f(x)=2x-14
  

• Man kann die Glieder einzeln aufleiten: F(x)=x²-14x
  

• Das gilt auch für Ketten mit Plus und Minus.
  

• In der höhere Mathematik wird Minus oft behandelt wie Plus.
  

• Die Subtraktion gilt als Sonderfall der Addition.
  

• Siehe mehr unter Aufleiten über Summenregel ↗
  

5. Faktorregel (½·x)

• Passt für: Zahl mal Term mit x
  

• Die Zahl (der Faktor) bleibt unverändert erhalten:
  

• f(x) = ½·x wird aufgeleitet zu F(x) = ½·2·x²
  

• Mehr unter Aufleiten über Faktorregel ↗
  

6. Produktregel (x·eˣ)

• Passt für: x auf zwei Seiten eines Malpunktes
  

• Eher aufwändig: das x steht auf zwei Seiten eines Malzeichens.
  

• f(x)=x·eˣ
  

• Man hat ein Produkt und auf zwei Seiten des Malzeichens steht ein x.
  

• Solche Produkte können sehr schwer aufzuleiten sein.
  

• Es gibt aber gute Ansätze, um es zu probieren.
  

• Mehr unter Partiell integrieren ↗
  

7. Verschachtelung (2x·cos(x²)

• Passt für: ein Teilterm mit x gibt abgeleitet den anderen Teilterm.
  

• Man spricht auch von verschachtelten Funktionen.
  

• Man hat zum Beispiel: f(x)=2x·cos(x²)
  

• Im Beispiel: x² gibt abgeleitet 2x.
  

• Mehr unter Integrieren über Substitution ↗
  

8. Gibt es überhaupt eine Stammfunktion?

• Es gibt Funktionen, die man noch nicht aufleiten kann.
  

• Für sie kennt man keine Stammfunktion.
  

• Man nennt sie nicht integrierbar oder nicht aufleitbar.
  

• Solche Funktionen können äußerlich sehr einfach aussehen.
  

• Ein Beispiel steht unter e^(x^2) aufleiten ↗
  

9. Benötigt man wirklich die Aufleitung?

• Sucht man nur den Wert des Integrals, kommt man auch ohne Stammfunktion aus.
  

• Das Integral ist die Zahl, die man erhält, wenn man zwischen zwei Grenzen intergriert.
  

• Die Stammfunktion ist ein Weg, aber nicht der einzige Weg, zum Integral.
  

• Ein anderer Weg (es gibt noch mehr) ist der Taschenrechner.
  

• Der berechnet das Integral zum Beispiel numerisch ↗
  

Was heißt Bronstein integrierbar?

• Halb scherzhaft:
  

• Der Bronstein ist Standard-Nachschlagewerk für Ingenieure und Naturwissenschaflter.
  

• Dort stehen auch viele Stammfunktionen für gegebene Funktionen f(x).
  

• Eine Funktion, die man mit diesem Buch integrieren kann, heißt
  

• Bronstein integrierbar ↗