Basiswissen

Wann ist das Verfahren sinnvoll?

• a) Der Funktionsterm ist ein Produkt.
  

• b) Der eine Faktor wird beim ableiten einfacher.
  

• c) Der andere Faktor wird beim aufleiten nicht schwieriger.
  

Formeln zum partiellen Integrieren

• Integral von [f'(x)·g(x)] = f(x)·g(x) - Integral von [f(x)·g'(x)]
  

• Integral von [du·v] = u·v - Integral von [u·dv]
  

• Integral von [u'·v] = u·v - Integral von [u·v']
  

Legende

• Die drei Formeln sind identisch und führen immer zum selben Ergebnis.
  

• g(x) und u meinen dasselbe.
  

• f(x) und v meinen dasselbe.
  

• g'(x) und du meinen dasselbe.
  

• f'(x) und dv meinen dasselbe.
  

• u' ist wie g'(x)
  

• v' ist wie f'(x)
  

• du ist wie u'.
  

• dv ist wie v'.
  

Erläuterung

• Mit Hilfe der Formel kann man eine Stammfunktion finden bzw. aufleiten.
  

• Die eigentliche Funktion ist dabei als Produkt geschrieben.
  

• Produkt meint: der Funktionsterm hat ein Malzeichen.
  

• Anders gesagt: der Integrand steht in Produktform.
  

• g(x) bzw. u ist der Faktor links vom Malzeichen.
  

• f'(x) bzw. dv ist der Faktor rechts vom Malzeichen.
  

Allgemeine Anleitung, Schritt für Schritt

• 1) Man betrachtet sich den Integranden.
  

• 1) Der Integrand muss ein Produkt sein (Malterm).
  

• 1) Das x steht einmal links vom Malpunkt, und einmal rechts vom Malpunkt.
  

• 1) Was links vom Malpunkt steht heißt linker Faktor.
  

• 1) Was rechts vom Malpunkt steht heißt rechter Faktor.
  

• 2) Man entscheidet jetzt, wer u' und wer v ist.
  

• 2) Was aufgeleitet als Term nicht schwieriger wird u'^[2].
  

• 2) Was abgeleitet als Term einfacher wird, wird v^[3].
  

• 3) Man weiß jetzt, was u' und was v sind.
  

• 3) Man schreibt einen Vierblock hin und berechnet die fehlenden Terme:
  

• 3) u = …
  

• 3) u' = …
  

• 3) v = …
  

• 3) v' = …
  

• 4) Man setzt die Zwischenergebnisse des Viererblocks ein:
  

• 4) Integral von [u'·v] = u·v - Integral von [u·v']
  

• 5) Man berechnet das noch vorhandene Integral von [u·v']
  

Beispielrechnung

• Man hat die den Funktionsterm x²·x.
  

• Gesucht ist die Stammfunktion ∫x²·x·dx
  

• Der Integrand ist das x²·x, das soll aufgeleitet werden.
  

• Links vom Malpunkt steht das x². Das ist das g(x) bzw. u.
  

• Rechts vom Malpunkt steht das x. Das ist das f'(x) bzw. dv.
  

• Man schreibt u, du, v und dv als "Viererblock":
  

• u = x²
  

• u' oder du = 2x (man leitet u dazu ab.)
  

• v = 0,5·x² (man leitet dv dazu auf.)
  

• v' oder dv = x
  

• Jetzt u, du (u'), v und dv (v') in die Formel einsetzen:
  

• x²·0,5·x² - ∫0,5·x²·2x·dx
  

• Integral ausrechnen gibt:
  

• x²·0,5·x² - 0,25·x^4
  

• Zusammenfassen gibt:
  

• 0,25·x^4 ✔
  

Klappt das immer?

• Nein, das Verfahren führt nicht immer zum Erfolg.
  

• Es ist intelligentes Probieren ohne Erfolgsgarantie.
  

Die Faktor-1-Methode

• Wende die Faktor-1-Methode an: hat man eine Funktion, die leicht abzuleiten ist, schreibe sie mit 1· davor, z. B. kann man ln(x) schreiben als 1·ln(x).
  

Standardbeispiel

• Integriere x·e^x·dx
  

• Man wählt x als g(x)
  

• f(x) = e^x
  

• g(x) = x
  

• f'(x) = e^x
  

• g'(x) = 1
  

• Anwendung der Formel von oben gibt:
  

• Integral x·e^xdx = x·e^x - Integral von [(e^x)·1]dx
  

• Vereinfachen gibt: xe^x - e^x = (x-1)e^x
  

Standardaufgaben

• x·cos(x)dx gibt x·sin(x)-cos(x)
  

• x·sin(x)dx gibt -x·cos(x)+sin(x)
  

• sin(x)·cos(x)dx gibt -0,5·[cos(x)]²
  

• 1·ln(x)dx gibt x·ln(x)-x
  

• e^x·(2-x²)dx gibt e^x·(2x-x²)
  

• x²·e^(-x)dx gibt (-x²-2x-2)·e^(-x)
  

• e^x·sin(x)dx gibt 0,5e^x·[sin(x)-cos(x)]
  

• x·ln(x)dx gibt 0,5·x²·ln(x)-0,25·x²
  

Syonyme

• Integration durch Teile ↗
  

• Teilweise Integration ↗
  

• Partiell integrieren ↗
  

• Produktintegration ↗
  

Fußnoten

• [1] Mit u und v: Partielle Integration. In: Spektrum Lexikon der Physik. Online: https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/partielle-integration/9431
  

• [2] Typische Terme, die beim Aufleiten nicht schwerer werden sind e^x oder generell die Terme von e-Funktionen sowie sin(x) oder cos(x).
  

• [3] Typische Terme, die beim Ableiten einfacher werden können sind ganzrationale Funktionsterme (x², 4x etc.) sowie Umkehrfunktionen wie ln(x) oder arcsin(x).