Partiell integrieren


Regel | Beispiele


Basiswissen


Partiell integrieren, auch Produktintegration genannt, ist ein Ansatz, um Stammfunktionen zu finden, wenn der Funktionsterm das x auf zwei Seiten ein Malzeichen hat. Der Ansatz führt oft - aber nicht immer zuverlässig - zum Ziel. Es gibt aber Tipps, die Erfolgswahrscheinlichkeit zu erhöhen.

Formeln


◦ Integral von [f'(x)·g(x)] = f(x)·g(x) - Integral von [f(x)·g'(x)]
◦ Integral von [du·v] = u·v - Integral von [u·dv]
◦ Integral von [u'·v] = u·v - Integral von [u·v']

Legende


◦ Beide Formeln sind identisch und führen immer zum selben Ergebnis.
◦ g(x) und u meinen dasselbe.
◦ f(x) und v meinen dasselbe.
◦ g'(x) und du meinen dasselbe.
◦ f'(x) und dv meinen dasselbe.
◦ u' ist wie g'(x)
◦ v' ist wie f'(x)
◦ du ist wie u'.
◦ dv ist wie v'.

Erläuterung


◦ Mit Hilfe der Formel kann man eine Stammfunktion finden bzw. aufleiten.
◦ Die eigentliche Funktion ist dabei als Produkt geschrieben.
◦ Produkt meint: der Funktionsterm hat ein Malzeichen.
◦ Anders gesagt: der Integrand steht in Produktform.
◦ g(x) bzw. u ist der Faktor links vom Malzeichen.
◦ f'(x) bzw. dv ist der Faktor rechts vom Malzeichen.

Beispielrechnung


◦ Man hat die den Funktionsterm x²·x.
◦ Gesucht ist die Stammfunktion ∫x²·x·dx
◦ Der Integrand ist das x²·x, das soll aufgeleitet werden.
◦ Links vom Malpunkt steht das x². Das ist das g(x) bzw. u.
◦ Rechts vom Malpunkt steht das x. Das ist das f'(x) bzw. dv.
◦ Man schreibt zunächst in übersichtlicher Form:
◦ u = x²
◦ du = 2x (man leitet u dazu ab.)
◦ v = 0,5·x² (man leitet dv dazu auf.)
◦ dv = x
◦ Jetzt u, du, v und dv in die Formel einsetzen:
◦ x²·0,5·x² - ∫0,5·x²·2x·dx
◦ Integral ausrechnen gibt:
◦ x²·0,5·x² - 0,25·x^4
◦ Zusammenfassen gibt:
◦ 0,25·x^4 ✔

Klappt das immer?


◦ Nein, das Verfahren führt nicht immer zum Erfolg.
◦ Es ist intelligentes Probieren ohne Erfolgsgarantie.

Wie geht man vor?


◦ Ein festes Vorgehen gibt es nicht, Intuition durch viel Training ist das Ziel.
◦ Es gibt bestimmte Funktionsarten, die man damit gut ableiten kann, andere nicht.
◦ Es gibt aber einige Tipps, die die Erfolgswahrscheinlichkeiten steigern.

Tipps für den Ansatz


◦ Man kann beim anfänglichen Funktionsterm die Faktoren vertauschen (Kommutativgesetz).
◦ Generell: was durch ableiten einfacher wird, setzt man nach rechts, sodass es zu g(x) bzw. u wird.
◦ Umkehrfunktionen wie ln(x) oder arcsin(x) werden durch ableiten einfacher, also als g(x) wählen.
◦ Funktionen wie e^x oder sin(x) werden mit ableiten nicht schwerer; auch sie kann man als g(x) wählen.
◦ Wende den Faktor-1-Trick an: hat man eine Funktion, die leicht abzuleiten ist, schreibe sie mit 1· davor, z. B. kann man ln(x) schreiben als 1·ln(x).

Tipps für die Übersicht


◦ Schreibe am Amfang immer als Liste auf:
◦ f(x) = ...
◦ g(x) = ...
◦ f'(x) = ...
◦ g'(x) = ...

Standardbeispiel


◦ Integriere x·e^x·dx
◦ Man wählt x als g(x)
◦ f(x) = e^x
◦ g(x) = x
◦ f'(x) = e^x
◦ g'(x) = 1
◦ Anwendung der Formel von oben gibt:
◦ Integral x·e^xdx = x·e^x - Integral von [(e^x)·1]dx
◦ Vereinfachen gibt: xe^x - e^x = (x-1)e^x

Standardaufgaben


◦ x·cos(x)dx gibt x·sin(x)-cos(x)
◦ x·sin(x)dx gibt -x·cos(x)+sin(x)
◦ sin(x)·cos(x)dx gibt -0,5·[cos(x)]²
◦ 1·ln(x)dx gibt x·ln(x)-x
◦ e^x·(2-x²)dx gibt e^x·(2x-x²)
◦ x²·e^(-x)dx gibt (-x²-2x-2)·e^(-x)
◦ e^x·sin(x)dx gibt 0,5e^x·[sin(x)-cos(x)]
◦ x·ln(x)dx gibt 0,5·x²·ln(x)-0,25·x²

Syonyme


=> Integration durch Teile
=> Teilweise Integration
=> Partiell integrieren
=> Produktintegration

Quellen


◦ [1] Mit u und v: Partielle Integration. In: Spektrum Lexikon der Physik. Online: https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/partielle-integration/9431