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Partiell integrieren

Regel | Beispiele

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Basiswissen


Partiell integrieren, auch Produktintegration genannt, ist ein Ansatz, um Stammfunktionen zu finden, wenn der Funktionsterm das x auf zwei Seiten eines Malzeichens stehen hat. Der Ansatz über die partielle Integration führt oft - aber nicht immer zuverlässig - zum Ziel. Es gibt aber Tipps, die Erfolgswahrscheinlichkeit zu erhöhen. Das ist hier kurz vorgestellt.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Drei übliche Schreibweisen für dieselbe Formel: g(x) und u. Und g'(x) wird auch als u' oder du geschrieben. Analoges gilt für f(x), v' und dv.☛


Wann ist das Verfahren sinnvoll?


  • a) Der Funktionsterm ist ein Produkt.
  • b) Der eine Faktor wird beim ableiten einfacher.
  • c) Der andere Faktor wird beim aufleiten nicht schwieriger.

Formeln zum partiellen Integrieren


  • Integral von [f'(x)·g(x)] = f(x)·g(x) - Integral von [f(x)·g'(x)]
  • Integral von [du·v] = u·v - Integral von [u·dv]
  • Integral von [u'·v] = u·v - Integral von [u·v']

Legende


  • Die drei Formeln sind identisch und führen immer zum selben Ergebnis.
  • g(x) und u meinen dasselbe.
  • f(x) und v meinen dasselbe.
  • g'(x) und du meinen dasselbe.
  • f'(x) und dv meinen dasselbe.
  • u' ist wie g'(x)
  • v' ist wie f'(x)
  • du ist wie u'.
  • dv ist wie v'.

Erläuterung


  • Mit Hilfe der Formel kann man eine Stammfunktion finden bzw. aufleiten.
  • Die eigentliche Funktion ist dabei als Produkt geschrieben.
  • Produkt meint: der Funktionsterm hat ein Malzeichen.
  • Anders gesagt: der Integrand steht in Produktform.
  • g(x) bzw. u ist der Faktor links vom Malzeichen.
  • f'(x) bzw. dv ist der Faktor rechts vom Malzeichen.

Allgemeine Anleitung, Schritt für Schritt


  • 1) Man betrachtet sich den Integranden.
  • 1) Der Integrand muss ein Produkt sein (Malterm).
  • 1) Das x steht einmal links vom Malpunkt, und einmal rechts vom Malpunkt.
  • 1) Was links vom Malpunkt steht heißt linker Faktor.
  • 1) Was rechts vom Malpunkt steht heißt rechter Faktor.

  • 2) Man entscheidet jetzt, wer u' und wer v ist.
  • 2) Was aufgeleitet als Term nicht schwieriger wird u'[2].
  • 2) Was abgeleitet als Term einfacher wird, wird v[3].

  • 3) Man weiß jetzt, was u' und was v sind.
  • 3) Man schreibt einen Vierblock hin und berechnet die fehlenden Terme:
  • 3) u = …
  • 3) u' = …
  • 3) v = …
  • 3) v' = …

  • 4) Man setzt die Zwischenergebnisse des Viererblocks ein:
  • 4) Integral von [u'·v] = u·v - Integral von [u·v']

  • 5) Man berechnet das noch vorhandene Integral von [u·v']

Beispielrechnung


  • Man hat die den Funktionsterm x²·x.
  • Gesucht ist die Stammfunktion ∫x²·x·dx
  • Der Integrand ist das x²·x, das soll aufgeleitet werden.
  • Links vom Malpunkt steht das x². Das ist das g(x) bzw. u.
  • Rechts vom Malpunkt steht das x. Das ist das f'(x) bzw. dv.
  • Man schreibt u, du, v und dv als "Viererblock":

  • u = x²
  • u' oder du = 2x (man leitet u dazu ab.)
  • v = 0,5·x² (man leitet dv dazu auf.)
  • v' oder dv = x

  • Jetzt u, du (u'), v und dv (v') in die Formel einsetzen:
  • x²·0,5·x² - ∫0,5·x²·2x·dx
  • Integral ausrechnen gibt:
  • x²·0,5·x² - 0,25·x^4
  • Zusammenfassen gibt:
  • 0,25·x^4 ✔

Klappt das immer?


  • Nein, das Verfahren führt nicht immer zum Erfolg.
  • Es ist intelligentes Probieren ohne Erfolgsgarantie.

Die Faktor-1-Methode


  • Wende die Faktor-1-Methode an: hat man eine Funktion, die leicht abzuleiten ist, schreibe sie mit 1· davor, z. B. kann man ln(x) schreiben als 1·ln(x).

Standardbeispiel


  • Integriere x·e^x·dx
  • Man wählt x als g(x)
  • f(x) = e^x
  • g(x) = x
  • f'(x) = e^x
  • g'(x) = 1
  • Anwendung der Formel von oben gibt:
  • Integral x·e^xdx = x·e^x - Integral von [(e^x)·1]dx
  • Vereinfachen gibt: xe^x - e^x = (x-1)e^x

Standardaufgaben


  • x·cos(x)dx gibt x·sin(x)-cos(x)
  • x·sin(x)dx gibt -x·cos(x)+sin(x)
  • sin(x)·cos(x)dx gibt -0,5·[cos(x)]²
  • 1·ln(x)dx gibt x·ln(x)-x
  • e^x·(2-x²)dx gibt e^x·(2x-x²)
  • x²·e^(-x)dx gibt (-x²-2x-2)·e^(-x)
  • e^x·sin(x)dx gibt 0,5e^x·[sin(x)-cos(x)]
  • x·ln(x)dx gibt 0,5·x²·ln(x)-0,25·x²

Syonyme



Fußnoten


  • [2] Typische Terme, die beim Aufleiten nicht schwerer werden sind e^x oder generell die Terme von e-Funktionen sowie sin(x) oder cos(x).
  • [3] Typische Terme, die beim Ableiten einfacher werden können sind ganzrationale Funktionsterme (x², 4x etc.) sowie Umkehrfunktionen wie ln(x) oder arcsin(x).