Basiswissen

Kurzbeispiele

• f(x) = e^(4x²-2x) ⭢ f'(x) = (8x-2)·e^(4x²-2x)
  

• f(x) = e^(4x) ⭢ f'(x) = 4·e^(4x)
  

• f(x) = e^x ⭢ f'(x) = e^x
  

• f(x) = 4e^x ⭢ f'(x) = 4e^x
  

Die gegebene Funktion f(x)

• f(x) = a·eᵀᵉʳᵐ ᵐⁱᵗ ˣ
  

• Man hat die Zahl e hoch irgendeinen Term mit x.
  

• Anders gesagt: das x taucht im Exponenten der Zahl e auch.
  

• Vor der Potenz eᵀᵉʳᵐ ᵐⁱᵗ ˣ darf ein konstanter Faktor (reiner Zahlenterm) stehen.
  

• Das e ist eine konstante Zahl (etwa 2,718) und heißt Eulersche Zahl ↗
  

• Siehe auch e-Funktion ↗
  

f(x) ableiten zu f'(x)

• Man hat ein e-Funktion: f(x) = a·eᵀᵉʳᵐ ᵐⁱᵗ ˣ
  

• Leite den Exponenten von e ab, und schreibe diese Ableitung auf.
  

• Setze eine runde Klammer um diesen abgeleiteten Exponenten.
  

• Schreibe dahinter einen Malpunkt
  

• Schreib dahinter den ursprünglichen Funktionsterm.
  

• Fertig ✔
  

Beispiele

• f(x) = ⅓·e⁹ˣ⁺⁵ ⭢ f'(x) = 9·⅓·e⁹ˣ⁺⁵
  

• f(x) = 2·e⁹ˣ ⭢ f'(x) = 18·e⁹ˣ
  

• f(x) = 5·eˣ ⭢ f'(x) = 5·eˣ
  

Tipp: es kommt kein x vor

• Es kommen manchmal auch Potenzterme ganz ohne x vor.
  

• Der Potenzterm besteht nur aus konstanten Zahlen.
  

• Zur Erinnerung: e selbst ist auch eine konstante Zahl.
  

• Konstante Zahlen abgeleitet ergeben immer 0.
  

• Beispiel: e⁹ gibt abgeleitet 0.
  

Kettenregel

• Die oben beschriebene Regel heißt auch Kettenregel.
  

• Man formuliert sie auch: f'(x) = innere Ableitung mal äußere Ableitung.
  

• Die innere Ableitung ist der Exponent, die äußere Ableitung der gesamte Funktionsterm.
  

• Siehe auch Ableiten über Kettenregel ↗
  

Produktregel

• Die Regel oben gilt nur, wenn das x nur auf einer Seite von einem Malzeichen steht.
  

• Steht das x aber auf zwei Seiten eines Malzeichens, gilt die Produktregel.
  

• Beispiel: f(x) = x·e⁹ˣ kann man nicht wie oben beschrieben ableiten.
  

• Man benötigt dazu die Produktregel ↗