Basiswissen

Einführung

1) Potenzregel

• f(x) = xⁿ wird abgeleitet zu: f'(x) = n·xⁿ⁻¹
  

• Man hat ein x hoch einer festen Zahl n:
  

• Man schreibt den Exponenten n als Faktor vor das x.
  

• Anschließend vermindert man den Exponenten n um eins.
  

• Tipp: x kann man schreiben als x¹
  

• Tipp: 4 kann man schreiben als 4·x°
  

• Beispiel: f(x) = x⁴ → f'(x) = 4 ·x³
  

• Beispiel: f(x) = x⁻³ → f'(x) = -3·x⁻⁴
  

• Beispiel: f(x) = x¹ → f'(x) = 1·x⁰ = 1
  

• Beispiel: f(x) = x⁰ → f'(x) = 0·x⁻¹ = 0
  

• Beispiel: f8x) = 4x¹ → f'(x) = 4x° = 4x
  

• Mehr über ableiten über Potenzregel ↗
  

2) Faktorregel

• f(x) = k·g(x) → f'(x) = k·g'(x)
  

• Man hat einen konstanten Faktor k vor einer Funktion stehen.
  

• Dieser Faktor k bleibt beim ableiten erhalten.
  

• Man leitet die Funktion ab; k bleibt dabei unverändert.
  

• Beispiel: f(x) = 4x³ → f'(x) = 3·4x² = 12x²
  

• Beispiel: f(x) = 5x¹ → f'(x) = 5
  

• Mehr unter ableiten über Faktorregel ↗
  

3) Summenregel

• f(x) = g(x) + h(x) → f'(x) = g'(x) + h'(x)
  

• Ist ein Funktionsterm eine Summe, kann man jeden Summanden einzeln ableiten.
  

• Man sagt auch, dass man eine Summe gliedweise ableiten kann (Glied für Glied).
  

• Die Summenregel gilt sinngemäß auch für Minusketten.
  

• Beispiel: f(x) = 5x² + 2x¹ → f'(x) = 10x¹+4x° = 10x + 4
  

• Beispiel: f(x) = 4x³ + 3x² + 5 → f'(x) = 3·4x² + 2·x¹ = 12x² + 2x
  

• Mehr unter ableiten über Summenregel ↗
  

4) Produktregel

• f(x) = g(x)·h(x) → f'(x) = g'(x)·h(x) + g(x)·h'(x)
  

• Schreibweise mit u und v: f(x) = u·v → f'(x) = u'·v + u·v'
  

• Steht das x auf zwei Seiten eines Malzeichens, muss man die Produktregel verwenden:
  

• Kurzfassung: f'(x) = links abgeleitet mal rechts + links mal rechts abgeleitet.
  

• Mehr unter ableiten über Produktregel ↗
  

5) Quotientenregel

• f(x) = g(x):h(x) → f'(x) = [g'(x)·h(x) + g(x)·h'(x)]:h²(x)
  

• Schreibweise mit u und v: f(x) = u:v → f'(x) = [u'·v - u·v']:v²
  

• Mehr über ableiten über Quotientenregel ↗
  

6) Kettenregel

• f(x) = f(g(x)) → f'(x) = f'(g(x)·g'(x)
  

• Merkspruch: äußere Ableitung mal innere Ableitung
  

• Beispiel: f(x) = (2x³+4x)³ → f'(x) = 3(6x+4)²
  

• Mehr unter ableiten über Kettenregel ↗
  

7) Sonderfälle

• Für bestimmte Funktionstypen gibt es feste Ableitungen:
  

• f(x) = sin(x) → f(x) = cos(x)
  

• f(x) = ln(x) → f'(x) = 1/x
  

• Mehr über Ableitungen ↗
  

Weitere Formeln