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Ableitungsregeln

Liste

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Basiswissen｜ Einführung｜ 1) Potenzregel｜ 2) Faktorregel｜ 3) Summenregel｜ 4) Produktregel｜ 5) Quotientenregel｜ 6) Kettenregel｜ 7) Sonderfälle｜ Weitere Formeln｜ Aufgaben (mit Lösungen)


Basiswissen


f(x) = x² gibt abgeleitet f'(x) = 2x: ableiten heißt, dass man zu einer gegebenen Funktion f(x) ihre erste Ableitung f'(x) findet. f'(x) spricht man eff-strich-von-iks aus. Diese Funktion heißt auch Ableitungsfunktion. Das wird hier näher erklärt.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
f'(x) steht für eine Ableitungsfunktion: wenn f(x)=x² ist, dann ist f'(x)=2x.☛


Einführung


Oft wird statt f'(x) auch y', seltener auch dy/dx geschrieben. Alle drei Schreibweisen meinen dasselbe. Grundsätzlich kann man zu jeder Funktion die Ableitung über die h-Methode auch Sekantenverfahren genannt finden. Dieses Verfahren ist jedoch sehr aufwändig. Für fast alle Funktionstypen gibt es abkürzende vereinfachte Regeln. Das sind die hier beschriebenen Ableitungsregeln.

1) Potenzregel


  • f(x) = xⁿ wird abgeleitet zu: f'(x) = n·xⁿ⁻¹
  • Man hat ein x hoch einer festen Zahl n:
  • Man schreibt den Exponenten n als Faktor vor das x.
  • Anschließend vermindert man den Exponenten n um eins.
  • Tipp: x kann man schreiben als x¹
  • Tipp: 4 kann man schreiben als 4·x°
  • Beispiel: f(x) = x⁴ → f'(x) = 4 ·x³
  • Beispiel: f(x) = x⁻³ → f'(x) = -3·x⁻⁴
  • Beispiel: f(x) = x¹ → f'(x) = 1·x⁰ = 1
  • Beispiel: f(x) = x⁰ → f'(x) = 0·x⁻¹ = 0
  • Beispiel: f8x) = 4x¹ → f'(x) = 4x° = 4x

2) Faktorregel


  • f(x) = k·g(x) → f'(x) = k·g'(x)
  • Man hat einen konstanten Faktor k vor einer Funktion stehen.
  • Dieser Faktor k bleibt beim ableiten erhalten.
  • Man leitet die Funktion ab; k bleibt dabei unverändert.
  • Beispiel: f(x) = 4x³ → f'(x) = 3·4x² = 12x²
  • Beispiel: f(x) = 5x¹ → f'(x) = 5

3) Summenregel


  • f(x) = g(x) + h(x) → f'(x) = g'(x) + h'(x)
  • Ist ein Funktionsterm eine Summe, kann man jeden Summanden einzeln ableiten.
  • Man sagt auch, dass man eine Summe gliedweise ableiten kann (Glied für Glied).
  • Die Summenregel gilt sinngemäß auch für Minusketten.
  • Beispiel: f(x) = 5x² + 2x¹ → f'(x) = 10x¹+4x° = 10x + 4
  • Beispiel: f(x) = 4x³ + 3x² + 5 → f'(x) = 3·4x² + 2·x¹ = 12x² + 2x

4) Produktregel


  • f(x) = g(x)·h(x) → f'(x) = g'(x)·h(x) + g(x)·h'(x)
  • Schreibweise mit u und v: f(x) = u·v → f'(x) = u'·v + u·v'
  • Steht das x auf zwei Seiten eines Malzeichens, muss man die Produktregel verwenden:
  • Kurzfassung: f'(x) = links abgeleitet mal rechts + links mal rechts abgeleitet.

5) Quotientenregel


  • f(x) = g(x):h(x) → f'(x) = [g'(x)·h(x) + g(x)·h'(x)]:h²(x)
  • Schreibweise mit u und v: f(x) = u:v → f'(x) = [u'·v - u·v']:v²

6) Kettenregel


  • f(x) = f(g(x)) → f'(x) = f'(g(x)·g'(x)
  • Merkspruch: äußere Ableitung mal innere Ableitung
  • Beispiel: f(x) = (2x³+4x)³ → f'(x) = 3(6x+4)²

7) Sonderfälle


  • Für bestimmte Funktionstypen gibt es feste Ableitungen:
  • f(x) = sin(x) → f(x) = cos(x)
  • f(x) = ln(x) → f'(x) = 1/x

Weitere Formeln


Eine umfangreiche Sammlung von Ableitung - auch auf Hochschulniveau - steht unter Formelsammlung Differentialrechnung ↗

Aufgaben (mit Lösungen)


ChatGPT said:a) f(x) = 5
b) f(x) = 3x
c) f(x) = -2x + 4
d) f(x) = x²
e) f(x) = -3x² + 2x
f) f(x) = x³
g) f(x) = 2x³ - 4x² + x
h) f(x) = x⁴
i) f(x) = -x⁴ + 3x³
j) f(x) = eˣ
k) f(x) = 2eˣ
l) f(x) = e^(2x)
m) f(x) = e^(-x²)
n) f(x) = sin(x)
o) f(x) = cos(x)
p) f(x) = sin(2x)
q) f(x) = x·eˣ
r) f(x) = x²·eˣ
s) f(x) = (x³ + 1)(x² - 1)
t) f(x) = (2x + 1)/(x - 1)
u) f(x) = (x² + 1)/(x³ + 1)
v) f(x) = eˣ·sin(x)
w) f(x) = e^(-x)·cos(x)
x) f(x) = sin(x²)
y) f(x) = cos(eˣ)
z) f(x) = e^(sin(x²))

Antworten:a) 0 | b) 3 | c) -2 | d) 2x | e) -6x+2 | f) 3x^2 | g) 6x^2-8x+1 | h) 4x^3 | i) -4x^3+9x^2 | j) e^x | k) 2e^x | l) 2e^(2x) | m) -2xe^(-x^2) | n) cos(x) | o) -sin(x) | p) 2cos(2x) | q) e^x(x+1) | r) e^x*(x^2+2x) | s) 5x^4-3x^2+2x | t) -3/(x-1)^2 | u) (-x^4-3x^2+2x)/(x^3+1)^2 | v) e^x*(sin(x)+cos(x)) | w) -e^(-x)(cos(x)+sin(x)) | x) 2xcos(x^2) | y) -e^xsin(e^x) | z) 2xe^(sin(x^2))*cos(x^2)