Basiswissen

f(x) = u·v gibt abgeleitet f'(x) = u'·v + u·v': u ist dabei die linke Seite von einem Malzeichen und v ist die recht Seite von einem Malzeichen. u und v können ein x enthalten oder auch nicht. Hat man einen Funktionsterm, bei dem das x auf zwei Seiten von einem Malzeichen steht, dann hat man eine sogenannte Produktfunktion und muss dann zwingend die Produktregel benutzen. Das ist hier kurz vorgestellt.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — f(x)=u·v ist ein Funktion bei der im Funktionsterm ein Produkt steht. Produkt heißt: eine Malkette. Die linke Seite der Malkette nennt man u, die rechte Seite nennt man v.☛

Wann muss man die Produktregel anwenden?

Immer dann, wenn ein x einmal links und einmal rechts von einem Malpunkt (sichtbar oder gedacht) steht, dann muss man die Produktregel anwenden. Kann man den Funktionsterm aber vorher so umformen, dass das x nicht mehr auf zwei Seiten eines Malpunktes steht, kann man die Produktregel vermeiden.

f(x) = x²·cos(x) -> Produktregel muss genommen werden

f(x) = (x²-4)·e^x -> Produktregel muss genommen werden

f(x) = (x²-4)·x -> umformen zu -> x³-4x -> Produktregel ist nicht nötig

f(x) = x²·x -> umformen zu f(x) = x³ -> Produktregel ist nicht nötig (externer Link)

Was muss für die Produktregel gegeben sein?

f(x) = u mal v

u = Term links vom Malzeichen

v = Term rechts vom Malzeichen

Ableiten über die Produktregel

f'(x) = u'·v + u·v'

Die Produktregel in Worten

Die Ableitung f'(x) ist also: u abgeleitet mal v plus u mal v abgeleitet

Oder: links abgeleitet mal rechts plus rechts abgeleitet mal links

Oder: links abgeleitet mal rechts plus links mal rechts abgeleitet

Beispiel I zur Produktregel

f(x) = x·(x+2) | x ist das u und (x+2) ist das v

f'(x) = 1·(x+2) + x·1

f'(x) = 2x + 2

Beispiel II zur Produktregel

f(x) = x·e^x

f'(x) = 1·e^x + x·e^x

Beispiel III zur Produktregel

f(x) = x²·sin(x)

f'(x) = 2x·sin(x) + x²·cos(x)