Basiswissen

f(x) = a·b^x oder auch c·a^x oder ähnlich: die erweiterte Exponentialfunktion passt gut als Modell für viele Prozesse aus der Wirklichkeit, etwa zu Zinseszinsen oder zur Radioaktivität. Die einzelnen Bestandteile der Funktion haben oft eine anschauliche Bedeutung. Diese sind hier kurz vorgestellt.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Man sieht die Formel: f(x)=a*b^x☛

Funktionsgleichung

f(x) = a·b^x

Legende

f(x) = Wieviel da ist nach dem x-ten Schritt Bestand ↗

a = Bestand bei x = 0, der Anfangsbestand oder Startwert ↗

b = Änderungsfaktor: (alter y-Wert) · b = (neuer y-Wert), wenn x um eins zunimmt Änderungsfaktor ↗

x = Exponent, Anzahl der Schritte, die b zur Wirkung kommt

Tipps

Der Änderungsfaktor kann sinnvoll nur eine positive Zahl sein.

Ist der Änderungsfaktor größer als 1 handelt es sich um Wachstum.

Ist der Änderungsfaktor kleiner als 1 handelt es sich um eine Abnahme.

Statt Änderungsfaktor sagt man auch Wachstumsfaktor ↗

Änderungsfaktor & Prozente

Prozentsatz in Wachstumsfaktor [z. B. 35 % ⭢ 1,35] ↗

Wachstumsfaktor in Prozentsatz [z. B. 1,0 % ⭢ 2 %] ↗

Funktionsgleichung umstellen

Exponentialgleichung nach Startwert umstellen ↗

Exponentialgleichung nach Änderungsfaktor umstellen ↗

Exponentialgleichung nach Exponent umstellen ↗

Exponentialfunktion aufstellen

Man hat zum Beispiel einen Graphen oder zwei konkrete Punkte des Graphen gegeben. Daraus kann man immer die Funktionsgleichung aufstellen. Gesucht sind die passenden Werte von a und b des Funktionstermes. Eine Anleitung steht unter erweiterte Exponentialfunktion aus zwei Punkten ↗

Speziafall Zinseszinsen

Die erweiterte Exponentialfunktion kommt in der Zinseszinsrechnung vor.

K(t) = Ko·(1+p/100)^t, mehr unter Zinseszinsformel ↗

Sachbeispiele zu Exponentialfunktionen

Kondensatoren in der Physik, Krankheitszahlen am Anfang von Epidemien, die Weltbevölkerung oder die Abkühlung von Teewasser in einem Glas Exponentielle Wachstumsprozesse ↗

Textaufgaben zu Exponentialfunktionen

Bakterien, Bevölkerungen, Fruchtfliegen, Geld und Whiskey: einige Textaufgaben mit Lösungen sind hier als Quickcheck zusammengestellt. Zu jeder Aufgabe gibt es immer auch eine Lösung. Gehe über die Seite Exponentialfunktionen Textaufgaben ↗

Fußnoten

[1] Der radioaktive Zerfall als erweiteterte Exponentialfunktion: Die Polin Marie Curie modellierte im Jahr 1906 die Intensität (intensite du rayonnement) des von ihr entdeckten Elements Polonium als Funktion der Zeit. Die von ihr verwendete Formel war: I=I₀e⁻ᵃᵗ. Sie erklärt dazu: "Si t est exprimé en jours,on a a = o,oo4g5; d'après cette relation l'intensité du rayonnement diminue de la moitié de sa valeur en un temps égal à 140 jours." Ihren Fehler schätzt Madame Curie ab mit: "Les écarts entre cette loi et les mesures ne dépassent pas 3 pour 1oo." In: Marie Curie: Sur la diminution de la radioactivité du polonium avec le temps. In: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences. Band 142, S. 273–276, 1906. Siehe auch Polonium ↗