A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 9 Ω
Das Banner der Rhetos-Website: zwei griechische Denker betrachten ein physikalisches Universum um sie herum.

Exponentialkurve

Graph

© 2016 - 2025




Basiswissen


Als Exponentialkurve bezeichnet man den Graphen einer beliebigien Exponentialfunktion (x im Exponenten). Eine Exponentialkurve wird zu einer x-Richtung hin immer flacher und zur anderen Seite him immer Steiler. Es gibt weder Extrem- noch Wendepunkte.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Graph der Funktion f(x) = 2^x☛


Grundform


  • Funktionsgleichung: f(x)=a^x
  • Ausgesprochen als: f(x) = a hoch x
  • a ist die die Basis der Potenz a^x.
  • x ist die unabhängige Variable und der Exponent von a^x.
  • Das kleine a steht dabei für eine beliebige positive Zahl.
  • Beispiel wären: f(x)=2^x oder f(x)=85,9^x
  • Ihr Graph hat einige typische Merkmale:
  • Der y-Achsenabschnitt liegt immer bei (0|1).
  • Der Graph hat keine Nullstellen.

a


Je nachdem welche festen Zahlenwerte man für die Basis a des Funktionstermes a^x einsetzt, entstehen unterschiedliche Varianten des Funktionsgraphen. Die Menge aller so erzeugten Graphen kann man als Kurvenschar (Funktionsschar) deuten. Es werden üblicherweise die folgenden Fälle unterschieden:

a > 1


  • a darf eine Zahl größer 1 sein.
  • Beispiele: f(x)=2^x oder f(x)=1,05^x
  • Der Graph steigt von links nach rechts immer steiler an.
  • Der Graph hat überall eine positive Steigung.
  • Der y-Achsenabschnitt ist bei (0|1).
  • Es gibt keine Nullstelle.

0 < a < 1


  • Das meint: 0 ist kleiner als a und a ist kleiner als 1.
  • Anders gesagt: die Werte für a liegen zwischen 0 und 1.
  • a Werte zwischen 0 und 1 sind typisch für Schrumpfungsprozesse:
  • Der Graph fällt von links nach rechts immer flacher ab.
  • Der Graph hat überall eine negative Steigung.
  • Der y-Achsenabschnitt ist bei (0|1).
  • Es gibt keine Nullstelle.

a = 0


  • f(x)=0^x
  • Dieser Fall gilt nicht als Exponentialfunktion.
  • Für negative x-Werte und für x=0 ist der Funktionsterm nicht definiert.
  • Für positive x-Werte verläuft der Graph auf der x-Achse.
  • a = 0 gilt nicht als Exponentialfunktion.

a < 0


  • Zum Beispiel: f(x)=(-2)^x
  • Dieser Fall gilt nicht als Exponentialfunktion.
  • Der Funktionsterm ist nicht für alle x-Werte definiert.
  • Für x=0,5 ergäbe das beispielsweise -2 hoch 0,5.
  • Das wäre identisch mit der Wurzel aus -2.
  • Diese ist aber nicht definiert.
  • a < 0 gilt nicht als Exponentialkuve.

a = e


  • Wenn das kleine a den Wert e hat spricht man von einer e-Funktion ↗
  • Die e-Funktion ist ein Spezialfall einer Exponentialfunktion.
  • Der Graph der einfachen e-Funktion hat eine besondere Eigenschaft:
  • Die Steigung ist in jedem Punkt gleich dem Funktionswert: f'(x)=y

Transformationen


  • Aus der Grundform f(x)=a^x können abgeleitete Graphen erzeugt werden.
  • Möglich sind unter anderem Streckungen und Stauchungen.
  • Möglich sind auch Verschiebungen entlang der Achsen.