Exponentialkurve
Graph
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Basiswissen
Als Exponentialkurve bezeichnet man den Graphen einer beliebigien Exponentialfunktion (x im Exponenten). Eine Exponentialkurve wird zu einer x-Richtung hin immer flacher und zur anderen Seite him immer Steiler. Es gibt weder Extrem- noch Wendepunkte.
Grundform
- Funktionsgleichung: f(x)=a^x
- Ausgesprochen als: f(x) = a hoch x
- a ist die die Basis der Potenz a^x.
- x ist die unabhängige Variable und der Exponent von a^x.
- Das kleine a steht dabei für eine beliebige positive Zahl.
- Beispiel wären: f(x)=2^x oder f(x)=85,9^x
- Solche Funktionen heißen einfache Exponentialfunktion ↗
- Ihr Graph hat einige typische Merkmale:
- Der y-Achsenabschnitt liegt immer bei (0|1).
- Der Graph hat keine Nullstellen.
- Siehe auch Exponentialfunktionen ↗
a
Je nachdem welche festen Zahlenwerte man für die Basis a des Funktionstermes a^x einsetzt, entstehen unterschiedliche Varianten des Funktionsgraphen. Die Menge aller so erzeugten Graphen kann man als Kurvenschar (Funktionsschar) deuten. Es werden üblicherweise die folgenden Fälle unterschieden:
a > 1
- a darf eine Zahl größer 1 sein.
- Beispiele: f(x)=2^x oder f(x)=1,05^x
- a > 1 ist typisch für ein exponentielles Wachstum ↗
- Der Graph steigt von links nach rechts immer steiler an.
- Der Graph hat überall eine positive Steigung.
- Der y-Achsenabschnitt ist bei (0|1).
- Es gibt keine Nullstelle.
0 < a < 1
- Das meint: 0 ist kleiner als a und a ist kleiner als 1.
- Anders gesagt: die Werte für a liegen zwischen 0 und 1.
- a Werte zwischen 0 und 1 sind typisch für Schrumpfungsprozesse:
- Der Graph fällt von links nach rechts immer flacher ab.
- Der Graph hat überall eine negative Steigung.
- Der y-Achsenabschnitt ist bei (0|1).
- Es gibt keine Nullstelle.
a = 0
- f(x)=0^x
- Dieser Fall gilt nicht als Exponentialfunktion.
- Für negative x-Werte und für x=0 ist der Funktionsterm nicht definiert.
- Für positive x-Werte verläuft der Graph auf der x-Achse.
- a = 0 gilt nicht als Exponentialfunktion.
- Siehe auch Null hoch ↗
a < 0
- Zum Beispiel: f(x)=(-2)^x
- Dieser Fall gilt nicht als Exponentialfunktion.
- Der Funktionsterm ist nicht für alle x-Werte definiert.
- Für x=0,5 ergäbe das beispielsweise -2 hoch 0,5.
- Das wäre identisch mit der Wurzel aus -2.
- Diese ist aber nicht definiert.
- a < 0 gilt nicht als Exponentialkuve.
a = e
- Wenn das kleine a den Wert e hat spricht man von einer e-Funktion ↗
- Das kleine e hat etwa den Wert 2,718 und heißt auch eulersche Zahl ↗
- Die e-Funktion ist ein Spezialfall einer Exponentialfunktion.
- Der Graph der einfachen e-Funktion hat eine besondere Eigenschaft:
- Die Steigung ist in jedem Punkt gleich dem Funktionswert: f'(x)=y
- Siehe auch einfache e-Funktion ↗
Transformationen
- Aus der Grundform f(x)=a^x können abgeleitete Graphen erzeugt werden.
- Möglich sind unter anderem Streckungen und Stauchungen.
- Möglich sind auch Verschiebungen entlang der Achsen.
- Mehr dazu unter Graphen transformieren ↗