Kurvenschar


Fachworte


Basiswissen


fₐ(x)=a·x²: mehrere sinnverwandte Funktionen als Graphen zusammen gedacht nennt man eine Kurvenschar, Funktionsschar oder Parameterfunktion. Das tiefgestellte a ist dabei der sogenannte Scharparameter. Das x ist die übliche Variable.

Definition


◦ Kurvenschar [1] heißt auch Funktionsschar, Graphenschar oder Parameterfunktion.
◦ Eine Schar sind viele Graphen als Einheit zusammen gedacht.
◦ Die einzelnen Funktionsgleichungen haben dabei einen ähnichen Bauplan.
◦ Sie unterscheiden sich nur in wenigen Aspekten.
◦ Diese drückt man durch einen Parameter aus.
◦ Parameter heißen oft t, k oder a.

Beispiele


◦ Man habe mehrere Parabelfunktionen gegeben:
◦ (x)=4·x², g(x)=5·x², h(x)=8·x² und i(x)=12·x²
◦ Sie haben alle den Bauplan: a·x²
◦ Man schreibt kurz: fₐ(x)=a·x²
◦ fₐ(x)=a·x² meint alle

Begriffe


◦ Statt Kurvenschar sagt man auch => Funktionsschar
◦ Das tiefgestellte a oder k heißt => Scharparameter
◦ Das x nennt man die => unabhängige Variable
◦ Das f(x) ist der => Funktionswert

Was bedeutet das a?


◦ Das a im Funktionsterm heißt => Scharparameter
◦ Man kann grundsätzliche beliebige Zahlen für a einsetzen.
◦ Dadurch entsteht jeweils eine konkrete Funktionsgleichung.
◦ Innerhalb dieser speziellen Funktionsgleichung ist das a dann konstant.

Beispiele für a


◦ a=0,1 gäbe f(x)=0,1x² eine stark gestauchte Parabel, => nach oben geöffnet
◦ a=0,2 gäbe f(x)=0,2x², eine mäßig gestauchte Parabeln, => nach oben geöffnet
◦ a=1,0 gäbe f(x)=3x², die gar nicht gestauchte => Normalparabel
◦ a=-0,1 gäbe f(x)=-0,1x² eine stark gestauchte Parabel, => nach unten geöffnet
◦ a=-0,2 gäbe f(x)=-0,2x², eine mäßig gestauchte Parabeln, => nach unten geöffnet
◦ a=-1,0 gäbe f(x)=-3x², eine Normalparabel, => nach unten geöffnet

Wie leitet man eine Kurvenschar ab?


Man behandelt den Scharparameter, also zum Beispiel das a so, als sei es eine konstante Zahl. Darüberhinaus gibt es keine weiteren Besonderheiten. Ableiten heißt dabei so viel wie die erste Ableitungsfunktion f'(x) bestimmen. Es gelten die üblichen Ableitungsregeln. Hier einige Beispiele:

◦ fₐ(x) = a·x³ + 4x² + 16 ⭢ ableiten ⭢ f'ₐ(x) = 3a·x² + 8x
◦ fₐ(x) = a·x³ + 4x² + 2a ⭢ ableiten ⭢ f'ₐ(x) = 3a·x² + 8x
◦ fₐ(x) = a·x³ + 4x² + a² ⭢ ableiten ⭢ f'ₐ(x) = 3a·x² + 8x
◦ fₐ(x) = cos(a·x) ⭢ ableiten f'ₐ(x) = -a·sin(a·x)
◦ fₐ(x) = a·x² ⭢ ableiten ⭢ f'ₐ(x) = 2a·x
◦ fₐ(x) = a ⭢ ableiten ⭢ f'ₐ(x) = 0

Allgemeiner Sinn


Aus Sachthemen heraus entstehen oft verschiedene Funktionsgleichungen, die alle einen ähnlichen Bauplan haben. Anstatt nun für jede Funktionsgleichung alle Berechnungen neu durchzuführen, versucht man sozusagen für alle Funktionen den gemeinsamen Bauplan zu bestimmen. Man führt dann alle Berechnungen für diese allgemeine Bauplan durch und kann die Ergebnisse danach direkt auf jede einzelne Funktion anwenden. Der gemeinsame Bauplan ist die Kurvenschar (Funktionsschar).

Konkretes Sachbeispiel


Man hat einen geraden Fluss und 60 Meter Zaun. Mit dem Zaun soll an den Fluss eine rechteckige Weidefläche umzäunt werden. Der Fluss selbst braucht keinen Weidezaun. Zaun ist also nur für drei der vier Seiten des Rechteckes nötig. Wie breit und wie lang sollte das Rechteck sein, dass sein Flächeninhalt maximal wird? Diese typische Optimierungsaufgabe führt zu einer quadratischen Gleichung, für die man den Hochpunkt bestimmt. Die 60 m Zaunlänge tauchen dabei in der Funktionsgleichung auf. Wenn man aber die Aufgabe für beliebige Zaunlängen lösen will, dann kann man die Zaunlänge zunächst als Scharparameter mit einem Buchstaben einsetzen (z. B. t). Die allgemeine Lösung enthält dann meistens noch den Parameter. In ihn kann man dann am Ende beliebige Zaunlängen einsetzen und erhält dann sofort mit einer einfachen Gleichung die ideale Rechteckbreite und Länge. Siehe auch => Weidezaunaufgaben

Häufige Fragestellungen


◦ Linie, auf der z. B. alle Hochpunkte liegen => Ortslinie einer Kurvenschar berechnen => qck
◦ Schnittpunkt aller Einzelkurven => gemeinsamen Punkt einer Kurvenschar berechnen => qck

Quellen


◦ Spektrum Lexikon der Mathematik, online (15. Juli 2021): https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/grenzpunkte-einer-kurvenschar/3621