Ungerade Funktion
Definition
Basiswissen
Eine Funktion deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0) eines Koordinatensystems ist nennt man ungerade [1]. Das ist hier näher mit Beispielen definiert.
Beispiele für ungerade Funktion
- => f(x)=0
- => f(x)=x
- => f(x)=x³
- => f(x)=1:x
- => f(x)=x^3-3x
Wie erkennt man eine ungerade Funktion?
- Über die Gleichung mit der => Exponentenregel der Graphensymmetrie
- Am Graphen, der Graph ist => punktsymmetrisch zum Ursprung [(0|0)]
- Formal über die Bedingung => f(x)=-f(-x)
Ist jede ungerade Funktion auch punktsymmetrisch?
Ja, eine ungerade Funktion ist immer punktsymmetrisch zum Punkt (0|0) eines Koordinatensystems und damit auch punktsymmetrisch an sich. Punktsymmetrie heißt für Graphen, dass es irgendeinen Punkt gibt, zu dem der Graph symmetrisch ist. Die ungerade Funktion ist ein Sonderfall für eine => punktsymmetrische Funktion
Ist jede punktsymmetrische Funktion auch eine ungerade Funktion?
Nein, eine Funktion kann zum Beispiel punktsymmetrisch zum Punkt (2|2) sein. Dann ist sie an sich punktsymmetrisch, aber nicht zum Koordinatenursprung (0|0). Punktsymmetrie allgemeine heißt an sich nur, es gibt irgendeinen => Symmetriepunkt
Wie kann man einen Graphen punktspiegeln an (0|0)?
- Dazu gibt es zwei praktisch-anschauliche Methoden.
- Man kann ihn schrittweise über die x- und y-Achse spiegeln.
- Oder man dreht ihn einfach um 180° um den Punkt (0|0).
- Beide Verfahren führen immer zum selben Ergebnis.
1. Methode: Punktspiegeln über x- und y-Achsen
- Ein gegebener Graph mit Funktionsgleichung soll punktgespiegelt werden.
- Man nimmt dazu einen beliebigen Punkt auf dem Graphen.
- Man spiegelt ihn zuerst an der x-Achse.
- Aus dem Punkt (4|2) wird dann zum Beispiel: (4|-2)
- Dann spiegel man diesen neuen Punkt an der y-Achse.
- Aus dem Punkt (4|-2) wird dann der Punkt: (-4|-2)
- Das mit allen Punkten des Graphen gemacht ergibt eine Punktspiegelung.
- Mehr dazu unter => Punktspiegelung von Graphen
2. Methode: Punktspiegelung über die Stecknadel-Methode
- Man stellt sich die Koordinatenachsen auf den Tisch gezeichnet vor.
- Der eigentliche Graph (die Kurve alleine) wäre auf Klarsichtfolie gezeichnet.
- Man sticht gedanklich eine Stecknadel durch die Folie in den Punkt (0|0).
- Dann dreht man die Folie um 180° (Halbkreis).
- Dabei sind die x- und y-Achse an der alten Stelle geblieben.
- Die gedrehte Folien-Kurve ist die punktgespiegelte Funktion.
Woher kommt der Name?
- Der Name hat nichts mit der Form des Graphen zu tun.
- Die Graphen dürfen zum Beispiel auch Geraden sein.
- Der Name kommt von den Exponenten von x her.
- Bei ganzrationalen Funktionen hat das x immer nur ungerade Exponenten.
- Siehe auch => ganzrationale Funktionen
Gibt es auch eine gerade Funktion?
Ja, wenn der Graph einer Funktion symmetrisch zu y-Achse ist, dann nennt man diese Funktion gerade. Siehe auch => gerade Funktion
Literatur
- [1] Ungerade Funktion. In: Spektrum Lexikon der Mathematik. 2022. Online: https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/ungerade-funktion/11593
