Basiswissen

Ein Kegelpendel^[1], auch konisches Pendel genannt^[1], ist ein Sonderfall eines Kugel- und Kreispendels: die Pendelmasse bewegt sich auf einer horizontalen Kreisbahn, oft idealisiert als mathematisches Pendel bei dem die Pendelstange oder der Pendelfaden als masselos angenommen werden. Die Geschwindigkeit wird als konstant angenommen. Damit bewegt sich die gedachte Pendelstange oder der Pendelfaden auf dem Mantel eines mathematischen Kegels.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Diese Bild genießt Gemeinfreiheit: der Urheber ist schon weiter über 110 Jahre verstorben. Das Bild zeigt die französische Schauspielering Sarah Bernhardt, etwa im Jahr 1864. © CosineKitty ☛

Dieses Bild ist für das Verständnis des Textes nicht wichtig. Das Bild wird im Text nicht erwähnt.

Das idealisierte Kegelpendel: die gesamte Masse wird in einem Punkt vereinigt gedacht. Die Masse bewegt sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit auf einer horizontalen Kreislinie mit dem Radius r.

Formeln zum Kegelpendel

ω = √[g/(l·cos(α)]

T = 2·π·√[l·cos(α)/g]

Fᵢ = m·g·tan(α)

Fₐ = m·v²·r

Fₘ = m·g

ω = 2·π/T

f = 1/T

v = ω·r

LEGENDE

ω = Omega, die Winkelgeschwindigkeit [rad/s] ↗

T = die Umlaufdauer ↗

Fᵢ = die nach innen gerichtete Zentripetalkraft ↗

Fₐ = die nach außen gerichtete Zentrifugalkraft ↗

Fₘ = die senkrecht nach unten gerichtete Gewichtskraft ↗

π = die Kreiszahl Pi ↗

l = die Pendellänge [der Stange, des Fadens] ↗

α = die Auslenkung [aus der Gleichgewichtslage] ↗

m = die Pendelmasse ↗

cos = die Cosinusfunktion ↗

tan = die Tangensfunktion ↗

g = die Erdfallbeschleunigung ↗

v = die Bahngeschwindigkeit ↗

f = die Frequenz [Umläufe pro s] ↗

r = der Radius der Kreisbewegung ↗

· = Multiplikation Malzeichen ↗

/ = Division Geteiltzeichen ↗

√ = Quadratwurzel Wurzelzeichen ↗

Kräfte am Kegelpendel

Auf ein idealisiertes Kegelpendel wirken nur genau zwei äußere Kräfte: a) die Gewichtskraft m·g, die die Pendelmasse senkrecht nach unten zieht und b) die Schnurkraft, die auf einer geraden Linie von der Pendelmasse hin zum oberen Aufhängunspunkt des Fadens zeigt. Darüberhinaus wirken keine weiteren Kräfte von außen auf das Pendel ein. Siehe auch äußere Kraft ↗

Die Gewichtskraft

Die Gewichtskraft ist das Produkt m·g aus der Masse m und der sogenannten Fallbeschleunigung, auf der Erde das kleine g. Wenn die Pendelmasse zum Beispiel 0,4 kg ist und die Erdfallbeschleunigung mit 10 m/s² angenommen wird, dann ergibt sich daraus 4 Newton als Gewichtskraft ↗

Die Schnurkraft

Die Schnurkraft ist eine sogenannte Zwangskraft.^[3] Sie beschränkt die Bewegung der Masse auf eine Kreisbahn. Die Schnurkraft verktoriell mit der Gewichtskraft addiert gibt die Zentripetalkraft. Alternativ kann man den Tangens des Auslenkungswinkels alpha mit der Schnurkraft multiplizieren, um die Zentri

Die Zentripetalkraft

Oft wird eine sogenannte Zentripetalkraft betrachtet. Die Zentripetalkraft wirkt von der Masse aus gesehen in einer geraden Linie hin zum Mittelpunkt der Kreisbewegung. Berechnet wird die Zentripetalkraft über den Term m·g·tan(α). Die nach innen zeigende Zentripetalkraft ist jedoch keine eigenständig von außen angreifende Kraft. Die Zentripetalkraft ist vielmehr eine sogenannte resultierende Kraft. Sie kann auf verschiedene Weisen berechnet werden:

Fᵢ = Vektor der Gewichtskraft + Vektor der Schnurkraft

Fᵢ = Schnurkraft mal sin(α)

Fᵢ = m·g·tan(α)

Die Zentripetalkraft ergibt sich als Ergebnis der Addition der Vektoren der Gewichts- und der Schnurkraft. Die Länge des resultierenden Vektors, das heißt der Betrag, gibt dann die Stärke der Zentripetalkraft an.^[4] Alternativ kann ihr Betrag auch trigonometrisch über den Auslenkungswinkel berechnet werden. Siehe mehr unter Zentripetalkraft ↗

Die Zentrifugalkraft

Die nach außen wirkend gedachte Zentrifugalkraft wird heute weitgehend als Scheinkraft behandelt. Sie wirkt nicht wirklich. Sie ist die hypothetische Kraft, die die Masse von ihrer Kreisbahn aus gesehen scheinbar nach außen "ziehen will". Als Term zu ihrer Berechnung wird oft mv²:r verwendet. Oft werden Zentrifugalkraft und Zentripetalkraft gleichgesetzt zu: mv²:r = m·g·tan(α) = Schnurkraft mal sin(α). Siehe auch Zentrifugalkraft ↗

Fußnoten

[1] Ein "Kegelpendel, Kreispendel" oder auch "konisches Pendel" ist ein "mathematisches Pendel, dessen Bewegung nicht auf eine vertikale, sondern auf eine horizontale Ebene beschränkt ist." Dabei läuft die "Pendelmasse […] einem horizontalen Kreis mit gleichförmiger Geschwindigkeit um". Dabei bewegt sich "die masselos angenommene Pendelstange bzw. der Faden auf dem Mantel eines Kreiskegels mit vertikaler Achse". In: der Artikel "Pendel". Spektrum Lexikon der Physik. 6 Bände. Greulich, Walter (Hrsg.) Spektrum Akademischer Verlag. Heidelberg, Berlin. 1998-2000. Online: https://www.spektrum.de/lexikon/physik/pendel/11005

[2] Kreispendel ist jedoch ein Überbegriff: jedes Kegelpendel ist auch ein Kreispendel, aber nicht jedes Kreispendel ist auch ein Kegelpendel. Ein Kreispendel kann zum Beispiel auch ein Faden- oder Stabpendel sein: "So ist ein schwerer Punkt, der durch einen Faden oder eine masselose starre Stange von konstanter Länge mit einem festen Punkte verbunden, in einer Vertikalebene dieses festen Punktes beweglich ist, auf einen Kreis gezwungen; er sellt ein Kreispendel dar." In: Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 7 Stuttgart, Leipzig 1909., S. 61-63. Siehe auch Kreispendel ↗

[3] Siehe mehr unter Zwangskraft ↗

[4] Der Betrag eines Vektors ist gleich seiner Länge. Man addiert die Quadrate der Vektorkomponenten und zieht aus dieser Summe dann die Wurzel. Das Ergebnis ist der Vektorbetrag ↗