Grenzwert
Definition
Basiswissen
Von einem Grenzwert (Limes) spricht man bei Folgen, Reihen und Funktionen. Wichtige Begriffe sind Limes, unendlich und Umgebung. Hier werden die verschiedenen Grenzwerte kurz vorgestellt.
Funktion
- Man hat eine Funktion f(x) gegeben.
- Die zentrale Frage ist dann: was passiert mit dem y-Wert, ...
- wenn man mit dem x-Wert immer weiter in eine bestimmte Richtung geht?
- Formal schreibt man etwas wie: x ⭢ 0 oder x ⭢ unendlich
Eine pragmatische Beschreibung
Der Grenzwert wird sinngemäß oft als eine Zahl beschrieben, der man sich immer mehr annähert, die man aber nie erreicht. Richtig ist, dass man einem Grenzwert immer näher kommt, wenn man zwei Dinge mit berücksichtigt. a) Man kann sich bei der Annäherung auch wieder ein Stück vom Grenzwert entfernen. Man kann sich ihm sozusagen auch in Schlängenkurven annähern. Und b) der Grenzwert selbst darf auch kurzfristig oder sogar dauerhaft erreicht werden. So ist der korrekte Grnenzwert der Funktion f(x)=4 für x gegen unendlich einfach nur die Zahl 4. Mathematisch exakt fassen lässt sich die Idee eines Grenzwertes mit der Idee einer Umgebung.
Die exakte Definition
- Man hat eine Funktion f(x) gegeben. Der Funktionswert sei das y.
- Man denkt sich dann eine beliebige positive Zahl aus und nennt sie Epsilon.
- Man wählt Epsilon dabei in der Regel sehr klein, zum Beispiel: Epsilon = 0,0002
- Geht man auf der x-Achse in Richtung größerer x-Werte, dann muss es einen ...
- x-Wert geben, ab dem der Abstand von y zum vermuteten Grenzwert ...
- niemals mehr größer sein wird als das angenommene Epsilon.
- Man kann also weiter in Richtung unendlich gehen, aber ...
- die y-Werte sind nie weiter weg vom Grenzwert als die Zahl Epsilon.
- Wenn diese Bedingung für beliebig kleine Werte von Epsilon gilt, ...
- dann war der angenommene Grenzwert auch der tatsächliche Grenzwert.
Beispiel f(x) = 1/x
- Man betrachte die Funktion: f(x) = 1/x
- f(1) ist 1; f(2) gibt 0,5; f(10) gibt 0,1 und so weiter.
- Der dazugehörige Graph ist die sogenannte => Normalhyperbel
- Der Graph fängt bei kleinen x-Werten mit sehr hohen y-Werten an.
- Geht man auf der x-Achse weiter nach rechts, werden die y-Werte immer kleiner.
- Der Graph nähert sich von oben der x-Achse an, erreicht diese aber nie.
- An diese Beispiel kann man die folgende exakte Grenzwertdefinition betrachten.
- Man wählt eine Zahl, von der man vermutet oder weiß dass sie der Grenzwert ist.
- Bei der Funktion f(x)=1/x ist der vermutete Grenzwert die Zahl 0.
- Man wählt einen kleinen Wert für Epsilon, z. B.: 0,5
- Man sucht einen x-Wert, ab dem die y-Werte immer näher als 0,5 am Grenzwert liegen.
- Das ist die Zahl x=2. Ab x=2 liegen alle y-Werte näher als 0,5 am Grenzwert.
- Diese Regel soll nun für beliebig kleine Epsilon-Werte funktionieren.
- Ab welchem x-Wert liegt y zum Beispiel nie weiter als 0,00001 vom Grenzwert entfernt?
- Wieder kann man dafür einen bestimmten x-Wert angeben, hier: eine Million
- Egal wie klein man Epsilon wählt, man wird immer einen passenden x-Wert finden.
- Wenn das für einen angenommenen Grenzwert machbar ist, dann ...
- ist der angenommene auch der tatsächliche Grenzwert.
- Für f(x) = 1/x ist der Grenzwert tatsächlich: 0
Synonyme
=> Grenzwert
=> Limes
