Basiswissen

Wie ist Funktion definiert?

• Funktionen ordnen oft (nicht immer) einem x-Wert einen y-Wert zu.
  

• Beispiel: f(x) = x² ordnet dem x-Wert 2 den y-Wert 4 zu.
  

• Die x-Werte sind normalerweise Zahlen, oft die reellen Zahlen.
  

• Zahlen kann man sich auf einer Zahlengeraden veranschaulichen.
  

• Funktion im Sinne von Grenzwerten meint, dass man x-Werte hat, ...
  

• die sich sinnvol auf einer Zahlengeraden vorstellen lassen.
  

• Wesentlich ist: die x-Wert muss man nach größer oder kleiner anordnen können.
  

• Wenn das gegeben ist, kann man auch Grenzwerte definieren.
  

Wie ist dann ein Grenzwert definiert?

• Man geht auf der Zahlengeraden immer in dieselbe Richtung.
  

• Man kann zum Beispiel immer in Richtung größerer x-Werte gehen.
  

• Man betrachtet dann, wie sich dabei die y-Werte verändern.
  

• Man betrachte etwas das Beispiel die Funktion: f(x) = 40-20/x
  

• Setzt man für x die Zahl 1 ein, erhält man: f(10) = 20
  

• Setzt man für x die Zahl 2 ein, erhält man: f(10) = 30
  

• Setzt man für x die Zahl 4 ein, erhält man: f(10) = 35
  

• Setzt man für x die Zahl 10 ein, erhält man: f(10) = 38
  

• Setzt man für x die Zahl 20 ein, erhält man: f(10) = 39
  

• Setzt man für x die Zahl 40 ein, erhält man: f(10) = 39,5
  

• Setzt man für x die Zahl 100 ein, erhält man: f(10) = 39,8
  

• Setzt man für x die Zahl 1000 ein, erhält man: f(10) = 39,98
  

• Setzt man für x die Zahl 1000000 ein, erhält man: f(10) = 39,99998
  

• Man erkennt, dass die y-Werte immer weniger Abstand zur 40 zu haben scheinen.
  

• Mit dieser Überlegung kann man jetzt einen Grenzwert definieren:
  

• Der Grenzwert ist diejenige Zahl, zu der die Funktionswerte ...
  

• irgendwann einen beliebig kleinen Abstand nicht mehr überschreiten, ...
  

• wenn man mit den x-Werten immer weiter in eine bestimmte Richtung geht.
  

Beispiel: f(x)=x²

• Der Graph von f(x) ist die Normalparabel ↗
  

• Wenn x gegen 4 laufen soll, dann setzt man der Reihe nach ...
  

• für x Zahlen ein, die immer näher an die 4 herangehen.
  

• Man beobachtet, auf welche Zahl der f(x)-Wert zuwandert.
  

• Für x=3 ist f(x)=9.
  

• Für x=3,5 ist f(x)= 12,25.
  

• Für x=3,8 ist f(x)=14,44.
  

• Für x=3,9 ist f(x)=15,21.
  

• Für x=3,99 ist f(x)=15,9201
  

• Für x=3,999 ist f(x)=15.992001
  

• Man hat den Eindruck, als ob f(x) langsamt gegen 16 strebt.
  

• Man sagt dann: Für x gegen 4 geht f(x) gegen 16.
  

• Der Grenzwert von f(x) für x gegen 4 ist 16.
  

Warum setzt man nicht direkt den x-Wert ein?

• Im Beispiel oben hätte man direkt f(4) ausrechnen können.
  

• Für f(x)=x² wäre dann direkt 16 herausgekommen.
  

• Für so etwas braucht man tatsächlich keine Grenzwertbetrachtungen.
  

• Es gibt aber x-Werte, für die eine bestimmte Funktion nicht definiert ist.
  

• Würde man den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzen, würde ein Taschenrechner "error" ausgeben.
  

• Beispiel: für f(x)=1/x kann man für x keine 0 einsetzen. Denn: 1 durch 0 ist nicht definiert.
  

• Es gibt aber einen Grenzwert für x->0.
  

Was meint der Grenzwert unendlich?

• Das meint, dass die y-Werte unendlich groß werden.
  

• Beispiel: man hat die Funktion f(x) = x²
  

• Man geht mit x in Richtung rechts auf dem Zahlenstrahl.
  

• Dabei werden die y-Werte immer größer.
  

• Sie können dabei jede beliebe Grenze überschreiten.
  

• Es gibt keine Zahl, für die man kein x mit größerem y finden könnte.
  

• Das drückt man aus, indem man sagt, der Grenzwert sei unendlich.
  

Beispiel: f(x)=^[8/(x²+1)]·[sin(8x)]+2

• Der Graph von ist eine Schlangenlinie mit abnehmenden Ausschlägen.
  

• Für immer größere Werte von x, nähert sich der Funktionswert ...
  

• immer mehr der Zahl 2 an.
  

• Die 2 ist der Grenzwert.
  

Synonyme

• Grenzwert ↗
  

• Limes ↗