Grenzwert (Funktion)
Limes von f(x)
Basiswissen
Von einem Grenzwert spricht man bei Folgen, Reihen und Funktionen. Hier geht es um den Grenzwert einer mathematischen Funktion wie zum Beispiel f(x)=1/x.
Wie ist Funktion definiert?
- Funktionen ordnen oft (nicht immer) einem x-Wert einen y-Wert zu.
- Beispiel: f(x) = x² ordnet dem x-Wert 2 den y-Wert 4 zu.
- Die x-Werte sind normalerweise Zahlen, oft die reellen Zahlen.
- Zahlen kann man sich auf einer Zahlengeraden veranschaulichen.
- Funktion im Sinne von Grenzwerten meint, dass man x-Werte hat, ...
- die sich sinnvol auf einer Zahlengeraden vorstellen lassen.
- Wesentlich ist: die x-Wert muss man nach größer oder kleiner anordnen können.
- Wenn das gegeben ist, kann man auch Grenzwerte definieren.
Wie ist dann ein Grenzwert definiert?
- Man geht auf der Zahlengeraden immer in dieselbe Richtung.
- Man kann zum Beispiel immer in Richtung größerer x-Werte gehen.
- Man betrachtet dann, wie sich dabei die y-Werte verändern.
- Man betrachte etwas das Beispiel die Funktion: f(x) = 40-20/x
- Setzt man für x die Zahl 1 ein, erhält man: f(10) = 20
- Setzt man für x die Zahl 2 ein, erhält man: f(10) = 30
- Setzt man für x die Zahl 4 ein, erhält man: f(10) = 35
- Setzt man für x die Zahl 10 ein, erhält man: f(10) = 38
- Setzt man für x die Zahl 20 ein, erhält man: f(10) = 39
- Setzt man für x die Zahl 40 ein, erhält man: f(10) = 39,5
- Setzt man für x die Zahl 100 ein, erhält man: f(10) = 39,8
- Setzt man für x die Zahl 1000 ein, erhält man: f(10) = 39,98
- Setzt man für x die Zahl 1000000 ein, erhält man: f(10) = 39,99998
- Man erkennt, dass die y-Werte immer weniger Abstand zur 40 zu haben scheinen.
- Mit dieser Überlegung kann man jetzt einen Grenzwert definieren:
- Der Grenzwert ist diejenige Zahl, zu der die Funktionswerte ...
- irgendwann einen beliebig kleinen Abstand nicht mehr überschreiten, ...
- wenn man mit den x-Werten immer weiter in eine bestimmte Richtung geht.
Beispiel: f(x)=x²
- Der Graph von f(x) ist die Normalparabel ↗
- Wenn x gegen 4 laufen soll, dann setzt man der Reihe nach ...
- für x Zahlen ein, die immer näher an die 4 herangehen.
- Man beobachtet, auf welche Zahl der f(x)-Wert zuwandert.
- Für x=3 ist f(x)=9.
- Für x=3,5 ist f(x)= 12,25.
- Für x=3,8 ist f(x)=14,44.
- Für x=3,9 ist f(x)=15,21.
- Für x=3,99 ist f(x)=15,9201
- Für x=3,999 ist f(x)=15.992001
- Man hat den Eindruck, als ob f(x) langsamt gegen 16 strebt.
- Man sagt dann: Für x gegen 4 geht f(x) gegen 16.
- Der Grenzwert von f(x) für x gegen 4 ist 16.
Warum setzt man nicht direkt den x-Wert ein?
- Im Beispiel oben hätte man direkt f(4) ausrechnen können.
- Für f(x)=x² wäre dann direkt 16 herausgekommen.
- Für so etwas braucht man tatsächlich keine Grenzwertbetrachtungen.
- Es gibt aber x-Werte, für die eine bestimmte Funktion nicht definiert ist.
- Würde man den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzen, würde ein Taschenrechner "error" ausgeben.
- Beispiel: für f(x)=1/x kann man für x keine 0 einsetzen. Denn: 1 durch 0 ist nicht definiert.
- Es gibt aber einen Grenzwert für x->0.
Was meint der Grenzwert unendlich?
- Das meint, dass die y-Werte unendlich groß werden.
- Beispiel: man hat die Funktion f(x) = x²
- Man geht mit x in Richtung rechts auf dem Zahlenstrahl.
- Dabei werden die y-Werte immer größer.
- Sie können dabei jede beliebe Grenze überschreiten.
- Es gibt keine Zahl, für die man kein x mit größerem y finden könnte.
- Das drückt man aus, indem man sagt, der Grenzwert sei unendlich.
[8/(x²+1)]·[sin(8x)]+2">
Beispiel: f(x)=[8/(x²+1)]·[sin(8x)]+2
- Der Graph von ist eine Schlangenlinie mit abnehmenden Ausschlägen.
- Für immer größere Werte von x, nähert sich der Funktionswert ...
- immer mehr der Zahl 2 an.
- Die 2 ist der Grenzwert.