Epsilon-Umgebung
Definition
Basiswissen
Eine Umgebung nach links und rechts, sie darf aber beliebig klein (nur nicht 0) sein. Das wird hier näher erklärt.
Was meint Epsilon hier?
- Epsilon meint ein => kleines griechische Epsilon
- Es steht für beliebig klein gedachte aber positive Zahlen.
- Positiv meint hier: die Zahl muss größer sein als 0.
- Die 0 selbst gilt nicht als positiv.
- Beispiel: epsilon=0,0004 wäre OK.
Was meint Umgebung?
- Das meint hier die Umgebung einer Zahl.
- Also: der ganze Bereich von etwas weniger als die Zahl...
- bis hin zu etwas mehr als die Zahl.
- Eine Umgebung der 4 wäre etwa: alles von 3,8 bis 4,2.
- Der Bereich hat eine linke und eine rechte Grenze.
- Statt Bereich sagt man oft auch Intervall
Was meint Epsilon-Umgebung?
- Man spricht konkret von der Epsilon-Umgebung eine Zahl z.
- Das meint: den Bereich von z-Epsilon bis z+Epsilon.
- Also alle Zahlen, die zwischen dem linken Rand z-Epsilon...
- und dem rechten Rand z+Epsilon liegen.
Worauf kommt es an?
- Das Epsilon deutet an, dass man es beliebig klein machen können muss.
- In Formeln und Lehrsätzen meint das dann, dass die Aussage immer ...
- auch für beliebige kleine Epsilon-Werte funktionieren muss.
Beispiel Extrempunkt
- Ein Extrempunkt ist ein Hoch- oder Tiefpunkt auf einem Graphen.
- Ein Punkt ist genau dann ein Extrempunkt, wenn ...
- man zu ihm eine Epsilon-Umgebung angeben kann, ...
- in der es keine höheren oder keine tieferen Punktem gibt.
- Siehe auch => Extrempunkt
Beispiel Grenzwert
- Man hat eine Funktion wie: f(x)=1:x
- Für x gegen unendlich geht ihr Funktionswert gegen 0.
- Die Zahl 0 ist der Grenzwert von f(x) für x gegen unendlich.
- Die Epsilon-Umgebung ist Teil der exakten Definition für einen => Grenzwert
