Epsilon-Umgebung


Definition


Basiswissen


Eine Umgebung nach links und rechts, sie darf aber beliebig klein (nur nicht 0) sein. Das wird hier näher erklärt.

Was meint Epsilon hier?


◦ Epsilon meint ein => kleines griechische Epsilon
◦ Es steht für beliebig klein gedachte aber positive Zahlen.
◦ Positiv meint hier: die Zahl muss größer sein als 0.
◦ Die 0 selbst gilt nicht als positiv.
◦ Beispiel: epsilon=0,0004 wäre OK.

Was meint Umgebung?


◦ Das meint hier die Umgebung einer Zahl.
◦ Also: der ganze Bereich von etwas weniger als die Zahl...
◦ bis hin zu etwas mehr als die Zahl.
◦ Eine Umgebung der 4 wäre etwa: alles von 3,8 bis 4,2.
◦ Der Bereich hat eine linke und eine rechte Grenze.
◦ Statt Bereich sagt man oft auch Intervall

Was meint Epsilon-Umgebung?


◦ Man spricht konkret von der Epsilon-Umgebung eine Zahl z.
◦ Das meint: den Bereich von z-Epsilon bis z+Epsilon.
◦ Also alle Zahlen, die zwischen dem linken Rand z-Epsilon...
◦ und dem rechten Rand z+Epsilon liegen.

Worauf kommt es an?


◦ Das Epsilon deutet an, dass man es beliebig klein machen können muss.
◦ In Formeln und Lehrsätzen meint das dann, dass die Aussage immer ...
◦ auch für beliebige kleine Epsilon-Werte funktionieren muss.

Beispiel Extrempunkt


◦ Ein Extrempunkt ist ein Hoch- oder Tiefpunkt auf einem Graphen.
◦ Ein Punkt ist genau dann ein Extrempunkt, wenn ...
◦ man zu ihm eine Epsilon-Umgebung angeben kann, ...
◦ in der es keine höheren oder keine tieferen Punktem gibt.
◦ Siehe auch => Extrempunkt

Beispiel Grenzwert


◦ Man hat eine Funktion wie: f(x)=1:x
◦ Für x gegen unendlich geht ihr Funktionswert gegen 0.
◦ Die Zahl 0 ist der Grenzwert von f(x) für x gegen unendlich.
◦ Die Epsilon-Umgebung ist Teil der exakten Definition für einen => Grenzwert