Grenzwerte über Probieren
Übersicht
Basiswissen
Der Grenzwert gegen 0 oder gegen plus oder auch minus unendlich: eine häufig genutzte Art solche Grenzwerte zu bestimmen ist das Einsetzen von Zahlen in die Funktionsgleichung. Dazu steht hier eine Übersicht mit verschiedenen Fällen.
Was ist ein Grenzwert?
- Ein Grenzwert ist ein Funktionswert, also ein y-Wert.
- Dieser Wert wird nicht ganz genau erreicht.
- Aber die y-Werte kommen sehrn nahe daran.
- Das Fachwort für Grenzwert ist Limes.
Was meint Grenzwert gegen plus unendlich?
- Das meint, dass man gedanklich auf der x-Achse immer weiter nach rechts geht, ...
- eigentlich so weit nach rechts, wie überhaupt denkbar. Dann ist man bei plus unendlich.
- Was dort als y-Wert herauskäme, wäre der Grenzwert für plus unendlich.
Wie bestimmt man den Grenzwert für plus unendlich?
- Es gibt verschiedene Methoden. Hier wird nur eine Probiermethode gezeigt.
- Man setzt in die Funktionsgleichung der Reihe nach immer größere x-Werte ein.
- Man könnte zum Beispiel erst die 1000, dann die 5000 und dann eine Million einsetzen.
- Man beobachtet, was dann die y-Werte machen. Das gibt einem ein Gefühl, ...
- hin zu welchem Wert die y-Werte streben. Das ist dann der Grenzwert.
Was meint Grenzwert gegen minus unendlich?
- Das meint, dass man gedanklich auf der x-Achse immer weiter nach links geht, ...
- eigentlich so weit nach links, wie überhaupt denkbar. Dann ist man bei minus unendlich.
- Was dort als y-Wert herauskäme, wäre der Grenzwert für minus unendlich.
Wie bestimmt man den Grenzwert für minus unendlich?
- Hier geht man gedanklich ähnlich vor, wie bei plus unendlich.
- Man setzt Zahlen als x-Werte ein, die immer weiter links auf der Zahlengeraden liegen.
- Man erkennt dann oft schon, in welche Richtung der y-Wert geht. Das ist der Grenzwert.
Was meint Grenzwert gegen plus 0?
- Man geht gedanklich auf der x-Achse von rechts kommend immer näher an die 0, ...
- ohne dass man sie dabei aber erreicht.
- Was dort als y-Wert herauskäme, wäre der Grenzwert für plus Null.
Wie bestimmt man den Grenzwert für plus 0?
- Man setzt immer kleinere, aber stets positive x-Werte ein.
- Man erkennt dann oft schon, in welche Richtung der y-Wert geht. Das ist der Grenzwert.
Was meint Grenzwert gegen minus 0?
- Man geht gedanklich auf der x-Achse von links kommend immer näher an die 0, ...
- ohne dass man sie dabei aber erreicht.
- Was dort als y-Wert herauskäme, wäre der Grenzwert für minus Null.
Wie bestimmt man den Grenzwert für minus 0?
- Man setzt immer größere, aber stets negative x-Werte ein.
- Man erkennt dann oft schon, in welche Richtung der y-Wert geht. Das ist der Grenzwert.
- (Größer meint in der Mathematik: weiter rechts auf der x-Achse/dem Zahlenstrahl.)
Beispiel für plus unendlich
- Wir nehmen die Funktion: f(x)=1/x
- Immer größere Zahlen für x einsetzen:
- f(2)=0,5
- f(5)=0,2
- f(10)=0,1
- f(100)=0,01
- f(1000)=0,001
- Für x gegen unendlich geht f(x) gegen 0.
- Null ist der Grenzwert für x gegen unendlich.
Beispiel für minus unendlich
- Wir nehmen die Funktion: f(x)=1/x
- Immer kleinere Zahlen für x einsetzen:
- f(-2)=-0,5
- f(-5)=-0,2
- f(-10)=-0,1
- f(-100)=-0,01
- f(-1000)=-0,001
- Für x gegen minus unendlich geht f(x) gegen 0.
- Null ist der Grenzwert für x gegen minus unendlich.
Beispiel für plus Null
- Wir nehmen als Funktion: f(x)=1/x
- Immer kleinere, positive x-Werte einsetzen:
- f(2)=0,5
- f(1)=1
- f(0,5)=2
- f(0,1)=10
- f(0,01)=100
- f(0,001)=1000
- Für x gegen plus 0 geht f(x) gegen unendlich.
Beispiel für minus Null
- Wir nehmen als Funktion: f(x)=1/x
- Immer kleinere, positive x-Werte einsetzen:
- f(-2)=-0,5
- f(-1)=-1
- f(-0,5)=-2
- f(-0,1)=-10
- f(-0,01)=-100
- f(-0,001)=-1000
- Für x gegen miuns 0 geht f(x) gegen minus unendlich.