Limes


Grenzwert


Basiswissen


Limes heißt wörtlich Grenze und meint in der Mathematik (Analysis) dasselbe wie Grenwert. Hier wird kurz die spezielle Schreibweise mit dem Unendlichzeichen ∞ erklärt.

Wohin geht das?


◦ Limes ist ein anderes Wort für => Grenzwert
◦ Limes wird vor allem in einer besonderen Schreibweise benutzt.
◦ Als Erklärbeispiel dient hier die => Normalhyperbel

Limes


◦ Das Wort Limes meint "Grenzwert von"
◦ Man spricht: "Der Grenzwert von ..."
◦ Oder: "Limes von"

f(x)


◦ Nach dem Wort Limes steht entweder f(x)...
◦ oder ein wirklicher Funktionsterm, wie etwa 1/x.
◦ Im Beispiel hier nehmen wir f(x)=1/x
◦ Man spricht jetzt: "Der Grenzwert von f(x)..."
◦ Oder: "Der Grenzwert von eins durch x..."

x ⭢ ∞


◦ Unter dem Wort Limes steht: x ⭢ ∞
◦ Man liest: der Limes von x gegen unendlich
◦ Das heißt: man setzt gedanklich für x immer größere Zahlen ein.
◦ Man beoachtet dann, in welche Richtung sich die dazugehörigen y-Werte verändern.
◦ Möglichkeiten:
◦ a) Der y-Wert geht Richtung unendlich groß.
◦ b) Der y-Wert geht Richtung minus unendlich.
◦ c) Der y-Wert geht Richtung einer festen Zahlen.
◦ Beispiele:
◦ a) Limes von 1/x für x ⭢ ∞ = 0
◦ b) Limes von x² für x ⭢ ∞ = ∞
◦ c) Limes von 4-1/x für x ⭢ ∞ = 4

x ⭢ -∞


◦ Unter dem Wort Limes steht: x ⭢ -∞
◦ Man liest: der Limes von x gegen minus unendlich
◦ Das heißt: man setzt gedanklich für x immer kleinere Zahlen ein.
◦ Man beoachtet dann, in welche Richtung sich die dazugehörigen y-Werte verändern.
◦ Möglichkeiten:
◦ a) Der y-Wert geht Richtung unendlich groß.
◦ b) Der y-Wert geht Richtung minus unendlich.
◦ c) Der y-Wert geht Richtung einer festen Zahlen.
◦ Beispiele:
◦ a) Limes von 1/x für x ⭢ -∞ = 0
◦ b) Limes von x² für x ⭢ -∞ = ∞
◦ c) Limes von 4-1/x für x ⭢ -∞ = 4

x ⭢ z


◦ Unter dem Wort Limes steht: x ⭢ z
◦ Man liest: der Limes von x gegen z (z. B. 4 oder 5)
◦ Das heißt: man gedanklich immer dichter an die Zahl z heran, in immer kleineren Schritten.
◦ Man beoachtet dann, in welche Richtung sich die dazugehörigen y-Werte verändern.
◦ Möglichkeiten:
◦ a) Der y-Wert geht Richtung unendlich groß.
◦ b) Der y-Wert geht Richtung minus unendlich.
◦ c) Der y-Wert geht Richtung einer festen Zahlen.
◦ Beispiele:
◦ a) Limes von 1/x für x ⭢ 4 = 0,25
◦ b) Limes von x² für x ⭢ 4 = 16
◦ c) Limes von 4-1/x für x ⭢ 4 = 3,75