Kettenregel für Grenzwerte
Grenzwert innerer Funktion in äußere Funktion einsetzen
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Basiswissen
f(x) = (4+1/x)^x - wie verhält sich der Funktionswert, wenn x gegen plus unendlich geht? Für den Fall, dass es eine innere und eine äußere Funktion gibt (Verkettung), kann man die Frage schrittweise beantworten. Das wird hier kurz erklärt. Das Beispiel hier hat übrigens des Grenzwert plus unendlich.
Definition
- Diese Kettenregel gilt für verkettete Funktionen.
- Eine verkettete Funktion nennt man auch eine Komposition.
- Man hat eine innere Funktion: für sie berechnet man zuerst den Funktionswert.
- Dieser Funktionswert wird dann in die äußere Funktion eingesetzt.
- f(x)=e^(-x+4) kann man sich denken als f(x)=e^[i(x)].
- f(x) ist dann die äußere und i(x) die innere Funktion.
- Lies auch unter Verkettung ↗
Vorgehen
- Erst Grenzwert der inneren Funktion bestimmen.
- Diesen Wert in die äußere Funktion einsetzen.
- Überlegen, welchen Wert dann die äußere Funktion annimmt.
- Dieser Wert der äußeren Funktion ist dann der gesuchte Grenzwert
Beispiele
- f(x) = e^[-x+4]
- Innere Funktion: -x+4
- Äußere Funktion: e^[...]
- Grenzwert der inneren Funktion für x gegen unendlich: minus unendlich
- Einsetzen in äußere Funktion gibt: e ^ [ -minus unendlich ]
- e^[ minus unendlich ] geht gegen 0, also ...
- geht f(x) für x gegen unendlich gegen 0.
Legende
^ = Das Hochzeichen, 2^3 wäre ausgerechnet 8.