Definition

In welchen Zusammenhängen tritt der Begriff auf?

• Das Wort tritt auf im Zusammenhang mit
  

• einer Funktion ↗
  

• einer Folge ↗
  

• einer Reihe ↗
  

Was kann eine Schranke haben?

Wie ist Schranke definiert?

• Der Begriff gehört immer zu einer Menge von Zahlen.
  

• Wenn alle Elemente der Menge kleiner sind als eine bestimmte Zahl,
  

• dann ist diese bestimmte Zahl eine obere Schranke der Menge.
  

• Wenn alle Elemente der Menge größer sind als eine bestimmte Zahl,
  

• dann ist diese bestimmte Zahl eine untere Schranke der Menge.
  

Was wäre ein Beispiel?

• Angenommen man hat die Funktion f(x)=sin(x) ↗
  

• Bei dieser Funktion liegen alle y-Werte zwischen -1 und 1.
  

• Die Zahl 1 ist dann eine obere Schranke ↗
  

• Die -1 ist eine untere Schranke ↗
  

Welche Schranken werden unterschieden?

• Ein Wert, der nicht übertroffen wird heißt obere Schranke ↗
  

• Ein Wert, der nicht unterboten wird heißt untere Schranke ↗
  

• Supremum ist das Fremdwort für die kleinste obere Schranke ↗
  

• Infimum ist das Fremdwort für die größte untere Schranke ↗
  

Was ist der Unterschied zum Grenzwert?

• Bei einer Schranke betrachtet man alle vorkommenden y-Werte.
  

• Bei einem Grenzwert betrachtet man nur y-Werte in eine bestimmte x-Richtung.
  

• Beispiel: die Funktion f(x)=1/x hat als Graphen die Normalhyperbel ↗
  

• Die Funktion hat weder eine obere noch eine untere Schranke.
  

• Denn: nahe bei x=0 geht der Graph für y gegen plus unendlich und minus unendlich.
  

• Betrachtet man aber den Grenzwert für x gegen unendlich, dann ist dieser 0.
  

• Die Zahl 0 wäre aber keine Schranke der Funktion.
  

• Siehe auch unter Grenzwert ↗
  

Beispielhaft Aussagen zu Schranken

• Man hat die Menge aller reellen Zahlen größer 5 und kleiner 7.
  

• Folgende Aussagen sind dann wahr:
  

• 17 ist eine obere Schranke.
  

• 12 ist eine obere Schranke.
  

• 7 ist eine obere Schranke.
  

• 7 ist die kleinste obere Schranke, das Supremum ↗
  

• 0 ist eine untere Schranke.
  

• 3 ist eine untere Schranke.
  

• 5 ist eine untere Schranke.
  

• 5 ist die kleinste untere Schranke, das Infimum ↗
  

• Es gibt kein Maximum ↗
  

• Es gibt kein Minimum