Definition

Definition: Ein Zahlenwert, der nie über- oder unterschritten wird. Die Definition gilt bezieht sich auf die Elemente irgendeiner betrachteten Menge.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Hellblauer Graph der einfachen logistischen Funktion.☛

In welchen Zusammenhängen tritt der Begriff auf?

Das Wort tritt auf im Zusammenhang mit

einer 👉 Funktion

einer 👉 Folge

einer 👉 Reihe

Was kann eine Schranke haben?

Der Begriff bezieht sich in der Mathematik immer auf eine Menge von Zahlenwerten. Eine solche Menge kann eine lose, ungeordnete Liste von Zahlen sein: Die Menge {3;7;2;8;5} hat die untere Schranke 2 und die obere Schranke 8. Bei Funktionen ist die betrachte Menge die Menge aller vorkommenden y-Werte (Bildmenge).

Wie ist Schranke definiert?

Der Begriff gehört immer zu einer Menge von Zahlen.

Wenn alle Elemente der Menge kleiner sind als eine bestimmte Zahl,

dann ist diese bestimmte Zahl eine obere Schranke der Menge.

Wenn alle Elemente der Menge größer sind als eine bestimmte Zahl,

dann ist diese bestimmte Zahl eine untere Schranke der Menge.

Was wäre ein Beispiel?

Angenommen man hat die Funktion 👉 f(x)=sin(x)

Bei dieser Funktion liegen alle y-Werte zwischen -1 und 1.

Die Zahl 1 ist dann eine 👉 obere Schranke

Die -1 ist eine 👉 untere Schranke

Welche Schranken werden unterschieden?

Ein Wert, der nicht übertroffen wird heißt 👉 obere Schranke

Ein Wert, der nicht unterboten wird heißt 👉 untere Schranke

Supremum ist das Fremdwort für die 👉 kleinste obere Schranke

Infimum ist das Fremdwort für die 👉 größte untere Schranke

Was ist der Unterschied zum Grenzwert?

Bei einer Schranke betrachtet man alle vorkommenden y-Werte.

Bei einem Grenzwert betrachtet man nur y-Werte in eine bestimmte x-Richtung.

Beispiel: die Funktion f(x)=1/x hat als Graphen die 👉 Normalhyperbel

Die Funktion hat weder eine obere noch eine untere Schranke.

Denn: nahe bei x=0 geht der Graph für y gegen plus unendlich und minus unendlich.

Betrachtet man aber den Grenzwert für x gegen unendlich, dann ist dieser 0.

Die Zahl 0 wäre aber keine Schranke der Funktion.

Siehe auch unter 👉 Grenzwert

Beispielhaft Aussagen zu Schranken

Man hat die Menge aller reellen Zahlen größer 5 und kleiner 7.

Folgende Aussagen sind dann wahr:

17 ist eine obere Schranke.

12 ist eine obere Schranke.

7 ist eine obere Schranke.

7 ist die kleinste obere Schranke, das 👉 Supremum

0 ist eine untere Schranke.

3 ist eine untere Schranke.

5 ist eine untere Schranke.

5 ist die kleinste untere Schranke, das 👉 Infimum

Es gibt kein 👉 Maximum

Es gibt kein Minimum