Brückenpfeilerversuch (Drehmomentengleichgewicht)
Statik
Grundidee
Zwei Briefwaagen und ein sehr leichter Querbalken dienen als einfaches Modell für eine sogenannte Balkenbrücke auf zwei Pfeilern. Einige kleine Metallgewichte dienen als Lasten. Die Gewichte werden an verschiedenen Stellen auf der Brücke platziert. Dann kann man über die Kräftekonstanz und das Drehmomentengleichgewicht die Auflast auf den Pfeilern in Gramm (Masse) oder Newton (Kraft) berechnen. Das ist hier kurz vorgestellt.
1. Den Brückenbalken auflegen
Ein leichter Balsaholz-Balken auf zwei Briefwagen dient als Modell einer Balkenbrücke. Der Balsaholz-Balken steht für den sogenannten Oberbau der Brücke. Von der Mitte des Balkens ausgehend sind Zentimeter wie auf eine Zahlengeraden markiert. In der Mitte liegt die Nullmarke, nach links liegen die negativen Zahlen und nach rechts die positiven Zahlen. Der Balken wird so auf die zwei Briefwaagen gelegt, dass die Markierungen -5 und 5 auf den Mitten der Waagenflächen liegen und die Nullmarke genau in der Mitte zwischen den Waagen liegt. Die Waagen sollte beide fast 0 Gramm oder ganz wenig mehr anzeigen.
2. Die Gewichte auflegen
Nun kann man frei eins, zwei oder mehr Gewichte auf den Balken auflegen. Die Gewichte dürfen - müssen aber nicht -nicht zwischen den Waagen platziert werden. Wichtig ist, dass keine der Waagen an den Anschlag bei 200 Gramm kommt. Wenn keine der Waagen 200 Gramm oder mehr anzeigt ist es gut. Um gleich besser die Positionen der Waagen ablesen zu können ist es gut, die Mitte von jedem Gewichtsstück möglichst genau direkt über eine Zentimetermarkierung zu platzieren.
3. Die Gewichte ablesen
Am besten skizziert man die Anordnung mit den Gewichten als großes Bild. Auf der Skizze bezeichnet man die einzelnen Gewichte dann zum Beispiel mit aufsteigenden kleinen lateinischen Buchstaben (a, b, c, d etc.) Nun liest man für jedes der aufgelegten Gewichte die Position auf dem Balken ab und trägt die Werte mit in die Skizze oder in einer Tabelle ein. Maßgeblich ist die Mitte des Gewicht von senkrecht oben aus gesehen. Am besten hat man die Gewichte so gelegte, dass ihre Mitte immer senkrecht über einem der Zentimetermarkierungen liegt.
4. Gewichtskräfte bestimmen
Ein Gewicht in Gramm multipliziert mit 0,01 - oder alternativ geteilt durch 100 - gibt die Gewichtskraft in Newton. Das ist eine gute Näherung für Rechnungen auf der Erdoberfläche (also nicht zum Beispiel im Weltraum oder tief im Erdinneren). Nach unten zeigende Kräfte trägt man dabei als positive Zahl ein. Für jedes der Gewichte führt man diese Rechnung durch und zeichnet einen senkrecht nach unten zeigenden Pfeil (↓) an jedes Gewicht in der Skizze. An diesen Pfeil schreibt man dann zum Beispiel für das Gewicht a als Notiz Fₐ=-2 Newton (Beispiel für 200 g). Nun trägt man als äußere Kräfte für den Balken noch die Stützkräfte der beiden Pfeiler ein. Diese zeigen nach oben (↑) und werden deshalb positiv gerechnet, haben als Vorzeichen also ein Plus. Man kann sie zum Beispiel mit links und rechts bezeichnen, etwa Fₗ und Fᵣ. Diese beiden Kräfte sind die Unbekannten, die man im Folgenden bestimmen will. Den Brückenbalken selbst muss man hier mit seinem Gewicht nicht berücksichtigen, da das Balsaholz sehr leicht und vernachlässigt werden kann. Will man die Gewichtskraft der Brücke mit berechnen, denkt man sich ihre gesamte Masse in ihrem Schwerpunkt vor. Bei einem homogenen Balken liegt der Schwerpunkt in der Mitte des Balkens.
5. Drehpunkt wählen
Nun kommt die Auswahl des Drehpunktes für die gleich folgende Berechnung der Drehmomente. Grundsätzlich kann man jede Position entlang des Balkens als Drehpunt wählen. Die Rechnung bleibt oft übersichtlicher und einfacher, wenn man einen der zwei Pfeiler als Drehpunkt wählt. Über den Satz vom Nullprodukt werden dann nämlich einige Drehmomente zu Null. Man kann zum Beispiel die Position bei -5 Zentimetern als Drehpunkt wählen. Das ist die Position des linken Brückenpfeilers. Diesen Drehpunkt trägt man als dicken Punkt am besten mit in die Skizze ein.
6. Drehmoment berechnen
Nun berechnet man für jedes Gewicht einzeln das Drehmoment, das es im Bezug zum vorher gewählten Drehpunkt ausübt. Dazu nimmt man die zuvor bestimmten Gewichtskräfte (wie z. B. Fₐ) und multipliziert diesen Wert mit dem Abstand des Gewichtes vom Drehpunkt in Zentimetern. Das Ergebenis ist das Drehmoment in Newtonzentimetern [Ncm]. Nun muss man noch das Vorzeichen für jedes Drehmoment bestimmen. Man stellt sich dazu anschaulich vor, dass die Kraft den Brückenbalken tatsächlich bewegen könnte. Die Brückenpfeiler denkt man sich weg, man ignoriert sie also. Um den vorher gewählten Drehpunkt kann sich der Brückenbalken dann gedanklich wie der Propeller eines Flugzeuges drehen. Bewirkt eine Kraft so gedacht eine Linksdrehung (⭯), das heißt eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn, dann wird das dazugehörige Drehmoment positiv gerechnet, hat als ein positives Vorzeichen. Bewirkt eine Kraft so gedacht eine Rechtsdrehung (⭮ ), das heißt eine Drehung im Uhrzeigersinn, dann wird das dazugehörige Drehmoment negativ gerechnet, hat als ein Minuszeichen als Vorzeichen. Diese Drehmoment mit ihren korrekten Vorzeichen trägt man bei den Kräften in der Skizze ein. Für die Drehmomente wählt man ein großes M. Für das Drehmoment des Gewichtes a kann man dann zum Beispiel schreiben: Mₐ= 8 Ncm (Newtonzentimeter). Man bestimmt die Drehmomente auch für die nach oben weisenden Kräfte der Brückenpfeiler. Hat man einen der beiden Brückenpfeiler vorher als Drehpunkt gewählt, so wird dessen Drehmoment zu Null und kann vernachlässigt werden. Siehe auch Drehmoment ↗
7. Gleichung für das Kräftegleichgewicht aufstellen
Der Brückenbalken ist in Ruhe, das heißt, er ändert auch seinen Bewegungszustand nicht. Das heißt nach dem ersten Newtonsches Axiom, dass die Summe aller von außen angreifenden Kräfte Null ergeben muss. Man schreibt nun alle reinen Kräfte aus der Skizze als eine lange Pluskette. Dabei haben die nach unten weisenden Kräfte der Gewichte ein negatives Vorzeichen. Diese Pluskette setzt man dann gleich Null. In dieser Gleichung sind auch die zwei gesuchten Unbekannten Fₗ und Fᵣ enthalten. Damit hat man die Gleichung für das Kräftegleichgewicht ↗
8. Gleichung für das Drehmomentengleichgewicht aufstellen
Analog zu der Überlegung des Kräftegleichgewichts gilt auch, dass die Summe aller von außen angreifenden Drehmomente Null sein muss, da der Brückenbalken ruht und deshalb nicht seine Winkelgeschwindigkeit ändert. Auch hier darf man nicht die Drehmomente der Brückenpfeiler selbst vergessen. Wenn man zum Beispiel zwei Gewichte auf der Brücke liegen hat, muss man insgesamt 4 Drehmomente in die Pluskette schreiben. Diese Pluskette wird dann gleich Null gesetzt. Damit hat man die Gleichung für das Drehmomentengleichgewicht ↗
9. Lineares Gleichungssystem lösen
Bei zwei Brückenpfeiler hat man unabhängig von der Anzahl der aufgelegten Gewichte genau zwei Unbekannte. Da man mit dem Kräfte- und dem Drehmomentengleichgewicht auch zwei Gleichungen hat, kann man diese zwei Gleichungen als lineares Gleichungssystem auffassen und damit die Zahlenwerte für die Pfeilerkräfte Fₗ und Fᵣ berechnen. Man kann dazu eines von mehreren Verfahren für ein lineares Gleichungssystem (LGS) auswählen. Siehe dazu auch im Artikel LGS lösen ↗
Rechenbeispiel
- Bei Position -8 liegt ein Gewicht von 100 Gramm auf der Brücke, entspricht -1 Newton Gewichtskraft.
- Bei Position +4 liegt ein Gewicht von 200 Gramm auf der Brücke, entspricht -2 Newton Gewichtskraft.
- Nach unten wirkende Kräfte werden mit einem negativen Zahlenwert eingesetzt.
- Bei Position -5 stützt der linke Pfeiler mit der unbekannten Kraft Fₗ nach oben.
- Bei Position +5 stützt der rechte Pfeiler mit der unbekannten Kraft Fᵣ nach oben.
- Der Drehpunkt wird beim linken Pfeiler bei der Position -5 angenommen.
- Für die Drehmomente muss man den Abstand der Kraftansatzpunkte zum Drehpunkt bestimmen:
- Linkes Gewicht: 3 cm, also Drehmoment (linksdrehen): von 3 Newtonzentimetern (3 Ncm)
- Rechtes Gewicht: 9 cm, also Drehmoment (rechtsdrehend): von -18 Newtonzentimetern (-18 Ncm)
- Linker Pfeiler: 0 cm, also Drehmoment: 0 Newtonzentimeter (0 Ncm)
- Rechter Pfeiler: 10 cm, also Drehmoment: Fᵣ·10cm
- I Kräftegleichgewicht: (-1 N) + (-2 N) + (Fᵣ) + (Fₗ) = 0
- II Drehmmentengleichgewicht: (3 Ncm) + (-18 Ncm) + (0 Ncm) + (Fᵣ·10cm)
- Lineares Gleichungssystem lösen:
- Fₗ = 1,5 Newton
- Fᵣ = 1,5 Newton
Ergebnis überprüfen
Mit Hilfe des Versuchsmodells kann man das Rechenergebnis leicht überprüfen. Die beiden Federwaagen zeigen beide jeweils die von oben auf sie einwirkenden Kräfte als Masse in Gramm an. Gramm geteilt durch 100 gibt die Kraft in Newton. Umgekehrt kann man eine Kraft in Newton mal 100 rechnen und erhält dann die Masse, deren Gewichtskraft eben diese Kraft gibt. Das wäre für beide Pfeiler hier 150 Gramm. Wenn beide Briefwaagen etwa 150 Gramm als Gewicht anzeigen, dann sind die Ergebnisse richtig.