Scheitelpunktform

f(x) = a·(x-d)² + e

Basiswissen

Die Scheitelpunktform gehört zu den Themen quadratische Funktionen und Parabeln. Aus ihr kann man leicht den Scheitelpunkt, die Öffnung und den y-Achsenabschnitt ablesen. Umgekehrt kann man sie leicht aufstellen, wenn man von einer Parabel den Scheitelpunkt SP und irgendeinen weiteren Punkt kennt. Das ist im Folgenden beschrieben.

Definitionen

◦ Der Scheitelpunkt einer Parabel ist ihr höchster oder ihr tiefster Punkt.
◦ Die Scheitelpunktform gilt für quadratische Funktionen:
◦ Eine Zahl a mal einer Klammer zum Quadrat und am Schluss plus oder minus eine Zahl.
◦ In der Klammer steht x plus oder x minus eine Zahl.

Wie liest man den Scheitelpunkt ab?

◦ Hat man eine quadratische Funktion in die Scheitelpunktform gebracht, ...
◦ dann kann man den Scheitelpunkt direkt ablesen.
◦ So sieht die Form aus: f(x) = a(x-d)² + e
◦ Wichtig: in der Klammer muss ein "Minus" stehen.
◦ Der Scheitelpunkt S ist dann immer (d|e).
◦ Steht in der Klammer ein Minus, ist d eine Pluszahl.
◦ Steht in der Klammer ein Plus, ist d eine Minuszahl.
◦ Mehr unter => Scheitelpunkt aus Scheitelpunktform

Was bedeuten das a, d und e?

◦ Das a gibt die Stauchung/Streckung an.
◦ Positives a: nach oben geöffnet
◦ Negatives a: nach unten geöffnet
◦ Das d ist der x-Wert des Scheitelpunktes.
◦ Das e ist der y-Wert des Scheitelpunktes.

Beispiele

◦ f(x) = 4(x+3)²+14, der SP ist dann (-3|-14)
◦ f(x) = 0,5(x-5)²-3, der SP ist dann (5|-3)

Transformationen

◦ Transformation meint hier eine Veränderungen ...
◦ des Graphen im Vergleich zur Normalparabel:
◦ a kleiner als -1: gestreckt, nach unten geöffnet
◦ a zwischen -1 und 0: gestaucht, nach unten geöffnet
◦ a zwischen 0 und 1: gestaucht, nach oben geöffnet
◦ a größer als 1: gestreckt, nach oben geöffnet
◦ d positiv: nach links verschoben
◦ d negativ: nach rechts verschoben
◦ e positiv: nach oben verschoben
◦ e negativ: nach unten verschoben