Basiswissen

Hier wird erklärt wie man aus einer Scheitelpunktform (SPS) einer quadratischen Funktion, zum Beispiel f(x) = 5(x-3)²+7, die allgemeine Form (AF), hier f(x) = 5x²-30x+52 erstellt.

Gegeben und gesucht

SPF gegeben: f(x) = a(x-d)² + e

AF gesucht: f(x) = ax² + bx + c

Die folgende Methode ist nicht immer die schnellste. Aber diese Methode funktioniert immer. Das Zahlenbeispiel ist: f(x) = 5(x-3)² + 7

Lösungsidee

Man hat die SPF f(x) = a(x-d)² + e. Man löst erst die Klammer mit dem Quadrat mit der ersten oder der zweiten binomischen Formel auf, multipliziert den erhaltenen Term mit dem Streckfaktor a aus und fasst am Ende alles zusammen.

Beispiel

f(x) = 4(x-3)²+7 [Quadratklammer einklammern]

f(x) = 4[(x-3)²]+7 [Binom auflösen]

f(x) = 4[x²-6x+9]+7 [mit Streckfaktor ausmultiplzieren]

f(x) = 4x²-24x+36+7 [zusammenfassen]

f(x) = 4x²-24x+43 ✓

Schritt-für-Schritt

1. Eckige Klammern setzen

Das a, hier die Zahl 5, nennt man Vorfaktor oder auch Streckfaktor ↗

Öffne direkt hinter dem Vorfaktor eine eckige Klammer ↗

Schließe die eckige Klammer hinter dem "hoch 2":

Das gibt: f(x) = 5[(x-3)²] + 7

2. Runde Klammer auflösen

Jetzt die innere, runde Klammer auflösen.

Steht in der Klammer ein +, nimm die erste binomische Formel ↗

Steht in der Klammer ein -, nimm die zweite binomische Formel ↗

Das gibt hier: f(x) = 5[x² - 6x + 9] + 7

3. Eckige Klammer auflösen

Jetzt die eckige, äußere Klammer auflösen.

Das geht über das normal "ausmultiplzieren":

Hier gibt das: f(x) = 5x² - 30x + 45 + 7

4. Zusammenfassen

Am Gleichungsende stehen jetzt zwei Zahlen ohne x.

Diese kann man noch zusammenfassen.

f(x) = 5x² - 30x + 52 (fertig)

Fertig.