Basiswissen

Kennt man die Periodendauer oder Frequenz eines schwingenden Pendels, so kann man daraus auf die Stärke der Schwerkraft, ausgedrückt über die Fallbeschleunigung g, an einem bestimmten Ort schließen. Ein für diesen Zweck verwendetes Pendel nennt man auch ein Pendelgravimeter. Das Messprinzip kann leicht mit dem nach g umgestellten Pendelgesetz T = 2·π·√(l/g) für Fadenpendel nachvollzogen werden.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Wie stark ist die Schwerkraft an einem bestimmten Ort? Hier eine Messung im indischen Madras. Mit solchen Messungen fand man zum Beispiel heraus, dass Gebirge wie der Himalaya sich nicht nur nach oben, sondern auch nach unten in die Erdkruste erstrecken. © John Goldingham (died 1849) ☛

Berechnung

Die folgende Berechnung gilt für sogenannte Faden- und Stabpendel.^[3] Bei beiden Pendelarten wird dabei die Masse des Fadens oder des Stabes als so klein angenommen, dass man sie vernachlässigen kann.

Formel

g = (2·π/T)²·l

Legende

T: In Sekunden, ist die Zeit für eine Schwingung Periodendauer ↗

l: In Metern, ist die Fadenpendellänge ↗

g: die gesuchte Erdfallbeschleunigung ↗

π: In etwa die Zahl 3,14, heißt auch Kreiszahl ↗

/: In dieser Formel ein Geteiltzeichen ↗

√: Das Wurzelzeichen ↗

Rechenbeispiel

T = 7,33 s

l = 13,3 m

π = 3,14

g ≈ 9,8 m/s²

Einfacher Versuch

Geht man ausreichend sorgfältig vor, kann man mit einem selbst gebauten Fadenpendel recht genau den Ortsfaktor, also den Wert für g, bestimmen. Ein guter Kompromiss zwischen einfacher Ausführung und Präzision ist ein Pendel mit einer Fadenlänge von zum Beispiel 2 bis 3 Metern. Man hängt den Faden an einem ausreichend hoch gelegenen Haken auf und befestigt am unteren Ende eine Metallkugel. Ideal sind hier Kugeln mit Ösen oder Bohrungen für die Befestigung des Fadens.

Man stößt das Pendel dann an und misst die Dauer für insgesamt 10 ganze Schwingungen.^[1] Teilt man die in Sekunden gemessene Zeit durch 10, erhält man die Zeitdauer für eine Schwingung, die sogenannte Periodendauer T.

Dann misst man die Länge der Strecke l vom oberen Aufhängepunkt des Pendels bis hin zur Mitte der unten angehängten Kugel. Diese Strecke ist dann die sogenannte Pendellänge l.

Setzt man die selbst für T und l gemessenen Werte in die Gleichung für g oben ein, so erhält man nach dem Ausrechnen den Wert für die örtliche Fallbeschleunigung auf der Erde. Interessant könnte es sein, diesen Versuch in sehr exakt gleicher Ausführung an sehr verschiedenen Orten auf der Erde durchzuführen, etwa auf dem Gipfel eines hohen Berges am Ufer eines Meeres oder in weit entfernten Orten nahe am Äquator.^[2] Je höher der Ort gelegen ist, desto kleiner müsste g sein.

Ortsfaktoren auf der Erde

Wenn man den Versuch ausreichend genau an verschiedenen Punkten der Erde durchführt, wird man Werte zwischen etwa 9,764 (niedrigster Wert) und 9,834 (höchster Wert) m/s² erhalten. Wie groß die Erdfallbeschleunigung an einer Stelle auf der Erde ist nennt man auch den Ortsfaktor. Eine Liste mit Beispielen steht im Artikel zu den Ortsfaktoren ↗

g als Maß für die Schwerkraft

Das kleine g steht für die sogenannte Fallbeschleunigung sowie auch für den sogenannten Ortsfaktor. Als Fallbeschleunigung gedeutet gibt g an, wie viel Geschwindigkeit ein frei fallender Körper in jeder Sekunde seines Falls daz gewinnt. Ist g zum Beispiel 9,81 m/s², so wird ein frei fallender Körper in jeder Sekunde um 9,81 m/s schneller. Als Ortsfaktor gedeutet sagt g, wie viele Newton Kraft an jedem Kilogramm Masse als Schwerkraft nach unten ziehen. Das kleine g ist damit ein indirektes Maß, eine sogenannte Proxy-Variable, für die sogenannte Schwerkraft ↗

Unterschied zur Gravitationskraft

Auch wenn man in der Geodäsie und der Physik von Pendelgravimetern spricht, messen diese Geräte nicht die Gravitationskraft sondern die Schwerkraft. Zwischen der Schwerkraft und der Gravitationskraft gibt es einen Unterschied. Die Gravitationskraft ist die reine Anziehungskraft, die aufgrund von Massen wirkt. In die Schwerkraft geht zusätzlich noch die wertmindernde Wirkung der Fliehkraft infolge der Eigendrehung der Erde um sich selbst mit ein. Siehe mehr zu diesem Thema im Artikel Gravitations-, Gewichts- und Schwerkraft ↗

Fußnoten

[1] Eine Schwingung ist eine ganze Bewegung einmal hin und einmal her. Wenn man das Pendel aus seiner Ruhelage herauszieht, zum Beispiel etwa 10 Zentimeter und es dann loslässt, ist eine ganze Schwingung die Bewegung bis das Pendel wieder an seinem Startpunkt ankommt. Siehe mehr unter Schwingung ↗

[2] Tatsächlich wurden Pendelgravimeter von berühmten Forschern wie Alfred Wegener oder Wilhelm Humboldt auf ihren Erkundungen rund um die Erde verwendet.

[3] Vernachlässigt man bei einem Stabpendel die Masse des Stabes und stellt man sich die gesamte Masse des Pendels in Schwerpunkt zusammengeballt vor, dann gilt auch für ein Stabpendel das Pendelgesetz T = 2·π·√(l/g). Für den Bau eines einfachen eigenen Pendels ist es meist aber einfacher, einen Faden zur Aufhängung zu verwenden. Siehe mehr unter Stabpendel ↗