Dritte Ableitung


f'''(x)


Definition


f(x) abgeleitet gibt die erste Ableitung f'(x). Diese noch einmal abgeleitet gibt die zweite Ableitung f''(x) und das noch einmal abgeleitet gibt die dritte Ableitung f'''(x). Das wird hier näher erklärt.

Wie berechnet man die dritte Ableitung?


Indem man f(x) ableitet und das Ergebnis dann wieder ableitet und dieses Ergebnis dann noch einmal: f(x) = 4x² -> ableiten -> f'(x) = 8x¹ -> ableiten -> f''(x) = 8x° -> ableiten -> f'''(x) = 0 -> siehe auch unter => dritte Ableitung bilden

Spreichweise


◦ f'(x) spricht man: f-Strich-von-x
◦ f''(x) spricht man: f-zwei-Strich-von-x
◦ f'''(x) spricht man: f-drei_Strich-von-x

Zahlenbeispiel zur Rechnung


◦ f(x) = x³ ist die ursprüngliche => Funktionsgleichung
◦ f'(x) = 3x² ist dann die => erste Ableitung
◦ f''(x) = 6x¹ ist dann die => zweite Ableitung
◦ f'''(x) = 6x° oder kurz 6x ist die dritte Ableitung.
◦ Siehe allgemein auch => mehrfach ableiten

Kann die dritte Ableitung 0 sein?


◦ Ja, wenn der Grad von f(x) weniger ist als drei:
◦ f(x) = 2x² -> f'(x) = 4x¹ -> f''(x) = 4 -> f'''(x) = 0
◦ f(x) = 2x¹ -> f'(x) = 2 -> f''(x) = 0 -> f'''(x) = 0
◦ Man sagt auch: die Ableitung verschwindet.

Die dritte Ableitung und Wendepunkte


◦ Wenn die zweite Ableitung 0 ist, kann ein Wendepunkt vorliegen.
◦ Es muss dort aber kein Wendepunkt vorliegen.
◦ Die dritte Ableitung schafft mehr Klarheit.
◦ Vorausgsesetzt, die 2. Ableitung war 0, dann gilt:
◦ 3. Ableitung < 0 -> Wendepunkt liegt vor, und zwar ein => LR-Wendepunkt
◦ 3. Ableitung > 0 -> Wendepunkt liegt vor, und zwar ein => RL-Wendepunkt
◦ 3. Ableitung = 0 -> es ist weiter unklar.
◦ Tipp: < meint "ist kleiner als"; > meint "ist größer als"
◦ Siehe auch => dritte Ableitung und Wendepunkt