Dritte Ableitung
f'''(x)
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Definition ·
Eine wichtiger Unterschied: Wert oder Funktion? ·
Wie berechnet man die dritte Ableitung? ·
Schreibweisen für die dritte Ableitung ·
Sprechweisen für die Lagrange-Notation ·
Zahlenbeispiel zur Rechnung ·
Kann f'''(x) als Funktion 0 werden? ·
Die dritte Ableitung und Wendepunkte ·
Der physikalische Ruck als dritte Ableitung
Definition
f(x) abgeleitet gibt die erste Ableitung f'(x). Diese noch einmal abgeleitet gibt die zweite Ableitung f''(x) und das noch einmal abgeleitet gibt die dritte Ableitung f'''(x). Hier ist kurz erklärt, wie man die dritte Ableitung bildet und was sie anschaulich bedeutet.
Eine wichtiger Unterschied: Wert oder Funktion?
Das Wort Ableitung wird in zwei ähnlichen aber leicht unterschiedlichen Bedeutungen verwendet. Für f(x)=x² ist f'(x)=2x die sogenannte Ableitungsfunktion. Und f'(4)=8 ist der sogenannte Ableitungswert, auch Steigung genannt, an der Stelle x=4. Beides, die Ableitungsfunktion wie auch den Ableitungswert an einer Stelle nennt man kurz oft Ableitung. In diesem Artikel steht Ableitung für die Ableitungsfunktion f'(x) sowie die höheren Ableitungen f''(x) und f'''(x). Siehe auch Ableitungsfunktion ↗
Wie berechnet man die dritte Ableitung?
Die dritte Ableitung erhält man, indem man f(x) ableitet und das Ergebnis dann wieder ableitet und dieses Ergebnis dann noch einmal ableitet: f(x) = 4x² ⭢ ableiten ⭢ f'(x) = 8x¹ ⭢ ableiten ⭢ f''(x) = 8x° ⭢ ableiten ⭢ f'''(x) = 0 ⭢ siehe auch unter dritte Ableitung bilden ↗
Schreibweisen für die dritte Ableitung
- f'''(x) ist die sogenannte Lagrange-Notation ↗
- d³y/dx³ heißt Leibniz-Notation ↗
Sprechweisen für die Lagrange-Notation
- f'(x) spricht man: f-Strich-von-x
- f''(x) spricht man: f-zwei-Strich-von-x
- f'''(x) spricht man: f-drei_Strich-von-x
Zahlenbeispiel zur Rechnung
- f(x) = x³ ist die ursprüngliche Funktionsgleichung ↗
- f'(x) = 3x² ist dann die erste Ableitung ↗
- f''(x) = 6x¹ ist dann die zweite Ableitung ↗
- f'''(x) = 6x° oder kurz 6 ist die dritte Ableitung.
- Siehe allgemein auch mehrfach ableiten ↗
Kann f'''(x) als Funktion 0 werden?
- Ja, wenn der Grad von f(x) weniger ist als drei.
- Dann wird die gesamte Ableitungsfunktion zu Null.
- f(x) = 2x² ⭢ f'(x) = 4x¹ ⭢ f''(x) = 4 ⭢ f'''(x) = 0
- f(x) = 2x¹ ⭢ f'(x) = 2 ⭢ f''(x) = 0 ⭢ f'''(x) = 0
- Man sagt auch: die Ableitung verschwindet.
- Mehr unter dritte Ableitung gleich null ↗
Die dritte Ableitung und Wendepunkte
- Wenn die zweite Ableitung 0 ist, kann ein Wendepunkt vorliegen.
- Es muss dort aber kein Wendepunkt vorliegen.
- Die dritte Ableitung schafft mehr Klarheit.
- Vorausgsesetzt, die 2. Ableitung war 0, dann gilt:
- 3. Ableitung < 0 ⭢ Wendepunkt liegt vor, und zwar ein LR-Wendepunkt ↗
- 3. Ableitung > 0 ⭢ Wendepunkt liegt vor, und zwar ein RL-Wendepunkt ↗
- 3. Ableitung = 0 ⭢ es ist weiter unklar.
- Tipp: < meint "ist kleiner als"; > meint "ist größer als"
- Siehe auch dritte Ableitung und Wendepunkt ↗
Der physikalische Ruck als dritte Ableitung
Die dritte Ableitung des Ortes oder Weges als Funktion der Zeit ist der Ruck. Leitet man eine Funktion des Ortes oder Weges einmal ab, erhält man die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit. Die zweite Ableitung liefert die Beschleunigung als Funktion der Zeit. Die dritte Ableitung gibt dann den Ruck als Funktion der Zeit. Der Ruck gibt an, wie schnell sich die Beschleunigung ändert. Eine schnelle solche Änderung empfindet man etwa als Passagier in einem Fahrzeug tatsächlich als einen Ruck oder Stoß. Siehe mehr dazu im Artikel zum physikalischen Ruck ↗