Definition

f(x) abgeleitet gibt die erste Ableitung f'(x). Diese noch einmal abgeleitet gibt die zweite Ableitung f''(x) und das noch einmal abgeleitet gibt die dritte Ableitung f'''(x). Hier ist kurz erklärt, wie man die dritte Ableitung bildet und was sie anschaulich bedeutet.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Die dritte Ableitung kann man auf verschiedene Weisen aufschreiben: links die sogenannte Leibniz-Notation und rechts die Lagrange-Notation☛

Eine wichtiger Unterschied: Wert oder Funktion?

Das Wort Ableitung wird in zwei ähnlichen aber leicht unterschiedlichen Bedeutungen verwendet. Für f(x)=x² ist f'(x)=2x die sogenannte Ableitungsfunktion. Und f'(4)=8 ist der sogenannte Ableitungswert, auch Steigung genannt, an der Stelle x=4. Beides, die Ableitungsfunktion wie auch den Ableitungswert an einer Stelle nennt man kurz oft Ableitung. In diesem Artikel steht Ableitung für die Ableitungsfunktion f'(x) sowie die höheren Ableitungen f''(x) und f'''(x). Siehe auch 👉 Ableitungsfunktion

Wie berechnet man die dritte Ableitung?

Die dritte Ableitung erhält man, indem man f(x) ableitet und das Ergebnis dann wieder ableitet und dieses Ergebnis dann noch einmal ableitet: f(x) = 4x² ⭢ ableiten ⭢ f'(x) = 8x¹ ⭢ ableiten ⭢ f''(x) = 8x° ⭢ ableiten ⭢ f'''(x) = 0 ⭢ siehe auch unter 👉 dritte Ableitung bilden

Schreibweisen für die dritte Ableitung

f'''(x) ist die sogenannte 👉 Lagrange-Notation

d³y/dx³ heißt 👉 Leibniz-Notation

Sprechweisen für die Lagrange-Notation

f'(x) spricht man: f-Strich-von-x

f''(x) spricht man: f-zwei-Strich-von-x

f'''(x) spricht man: f-drei_Strich-von-x

Zahlenbeispiel zur Rechnung

f(x) = x³ ist die ursprüngliche 👉 Funktionsgleichung

f'(x) = 3x² ist dann die 👉 erste Ableitung

f''(x) = 6x¹ ist dann die 👉 zweite Ableitung

f'''(x) = 6x° oder kurz 6 ist die dritte Ableitung.

Siehe allgemein auch 👉 mehrfach ableiten

Kann f'''(x) als Funktion 0 werden?

Ja, wenn der Grad von f(x) weniger ist als drei.

Dann wird die gesamte Ableitungsfunktion zu Null.

f(x) = 2x² ⭢ f'(x) = 4x¹ ⭢ f''(x) = 4 ⭢ f'''(x) = 0

f(x) = 2x¹ ⭢ f'(x) = 2 ⭢ f''(x) = 0 ⭢ f'''(x) = 0

Man sagt auch: die Ableitung verschwindet.

Mehr unter 👉 dritte Ableitung gleich null

Die dritte Ableitung und Wendepunkte

Wenn die zweite Ableitung 0 ist, kann ein Wendepunkt vorliegen.

Es muss dort aber kein Wendepunkt vorliegen.

Die dritte Ableitung schafft mehr Klarheit.

Vorausgsesetzt, die 2. Ableitung war 0, dann gilt:

3. Ableitung < 0 ⭢ Wendepunkt liegt vor, und zwar ein 👉 LR-Wendepunkt

3. Ableitung > 0 ⭢ Wendepunkt liegt vor, und zwar ein 👉 RL-Wendepunkt

3. Ableitung = 0 ⭢ es ist weiter unklar.

Tipp: < meint "ist kleiner als"; > meint "ist größer als"

Siehe auch 👉 dritte Ableitung und Wendepunkt

Der physikalische Ruck als dritte Ableitung

Die dritte Ableitung des Ortes oder Weges als Funktion der Zeit ist der Ruck. Leitet man eine Funktion des Ortes oder Weges einmal ab, erhält man die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit. Die zweite Ableitung liefert die Beschleunigung als Funktion der Zeit. Die dritte Ableitung gibt dann den Ruck als Funktion der Zeit. Der Ruck gibt an, wie schnell sich die Beschleunigung ändert. Eine schnelle solche Änderung empfindet man etwa als Passagier in einem Fahrzeug tatsächlich als einen Ruck oder Stoß. Siehe mehr dazu im Artikel zum physikalischen 👉 Ruck