Wendepunkte bestimmen
Anleitung
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Basiswissen ·
Kurzanleitung ·
Die Kurzanleitung in Worten ·
Was bedeutet diese Grundidee zur Lösung anschaulich? ·
Was meint Punkt hier? ·
Wendepunkte graphisch bestimmen ·
Wendepunkte rechnerisch bestimmen ·
f'(x) und Wendepunkte ·
f''(x) und Wendepunkte ·
f'''(x) und Wendepunkte ·
LR und RL ·
Vorzeichenkriterium ·
Wie findet man den y-Wert? ·
Tipp ·
Aufgaben dazu
Basiswissen
Über f''(x) und f'''(x) oder auch das Vorzeichenkriterium oder graphisch: hier stehen Anleitungen, wie man Wendepunkte auf Graphen von Funktionen bestimmt. Übrigens: auch ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, nur ein besonderer. Das wird hier mit behandelt.
Kurzanleitung
- Die erste Ableitung f'(x) spielt keine Rolle, ist also egal.
- Die zweite Ableitung f''(x) muss 0 sein.
- Die dritte Ableitung f'''(x) ist kleiner als 0 LR-Wendepunkt ↗
- Die dritte Ableitung f'''(x) ist größer als 0 RL-Wendepunkt ↗
- Die dritte Ableitung f'''(x) ist gleich 0: unklar, ist weiter unten erklärt
Die Kurzanleitung in Worten
Nimm die ursprüngliche Funktionsgleichung f(x) und bilde davon die zweite Ableitung f''(x). Setze diese zweite Ableitung gleich 0 und löse dann nach x auf. Die Zahl, die man für x erhält, ist der x-Wert des möglichen Wendepunktes. Bilde dann die dritte Ableitung. Sie sagt, ob für diesen x-Wert welche Art von Wendepunkt vorliegt oder ob es überhaupt ein Wendepunkt sein kann.
Was bedeutet diese Grundidee zur Lösung anschaulich?
An einem Wendepunkt wechselt die Krümmung des Graphen von Linkskrümmung zu Rechtskrümmung oder von Rechtskrümmung zu Linkskrümmung. Wo Linkskrümmung herrscht, ist der y-Wert der zweiten Ableitung immer positiv. Wo Rechtskrümmung herrscht ist der y-Wert der zweiten Ableitung immer negativ. Wo die Krümmung wechselt, ist der Graph weder links- noch rechtsgekrümmt. Damit ist die zweite Ableitung dort auch weder negativ noch positiv, sondern Null: wo ein Wendepunkt sein soll, muss die zweite Ableitung als y-Wert Null haben. Das ist der grundlegende Lösungsansatz zur Berechnung.
Was meint Punkt hier?
- Punkt meint hier einen Punkt auf einem Funktionsgraphen.
- An diesem Punkt ändert sich die Krümmung.
- Krümmungsänderung meint hier "von links nach rechts" oder umgekehrt.
- Der Punkt setzt sich aus einer x- und einer y-Koordinate zusammen.
- Wendestelle meint nur den x-Wert.
- Wendewert meint nur den y-Wert.
- Wendepunkt meint beides zusammen.
- WP ist die Abkürzung.
Wendepunkte graphisch bestimmen
- Man geht gedanklich mit dem Finger von links nach rechts den Graphen einer Funktion entlang.
- An einem Punkt, an dem die Krümmung von links nach rechts wechselt oder umgekehrt ist ein Wendepunkt.
- Stellt man sich gedanklich auf eine Fahrrad auf dem Graphen entlang fahrend vor, ...
- dann ist ein Wendepunkt dort, wo man den Lenker in die andere Richtung ändern würde.
- Man kann von diesem Punkt dann die x- und y- Koordinaten ablesen. Das ist der Wendepunkt.
- Siehe auch als Tipp auch 2D-Punkt aus Koordinatensystem [ablesen] ↗
- Hintergrund Rechtskrümmung ↗
- Hintergrund Linkskrümmung ↗
Wendepunkte rechnerisch bestimmen
In der Schulmathematik werden Wendepunkte meist rechnerisch über die zweite und die dritte Ableitungen bestimmt. Die erste Ableitung spielt für Wendepunkte keine Rolle. Das ist hier Schritt für Schritt erklärt.
f'(x) und Wendepunkte
- f(x) ist die gegebene Funktion.
- f'(x) ist die erste Ableitung.
- Sie ist für Wendepunkte egal.
- Man braucht sie nur, um damit ...
- die zweite Ableitung zu erstellen.
- Beispiel: f(x)=x³ gibt f'(x)=3x².
f''(x) und Wendepunkte
- f''(x) ist die zweite Ableitung.
- Man leitet also f'(x) noch einmal ab.
- f'(x) = 3x² abgeleitet gibt f''(x)=6x.
- Für den Wendepunkt muss f''(x)=0 werden.
- Also: f''(x) gleich 0 setzen und dann nach x auflösen
- Im Beispiel: 6x = 0 | :6
- Im Beispiel: x = 0
- Im Beispiel gibt kommt also heraus: x=0
- Bei x=0 liegt möglicherweise ein Wendepunkt.
- Wäre die Gleichung nicht lösbar gewesen, ...
- dann gäbe es auch sicher keinen Wendepunkt.
- Hier im Beispiel ist aber ein WP möglich.
- Ob bei x=0 wirklich ein WP vorliegt, ...
- das sagt die dritte Ableitung f'''.
f'''(x) und Wendepunkte
- f'''(x) ist die dritte Ableitung.
- f''(x) abgeleitet gibt f'''(x).
- Im Beispiel gibt f''(x)=6x abgeleitet f'''(x)=6.
- f'''(x) ist entweder eine Zahl oder ein Term mit x.
- Im Beispiel hier ist es einfach nur die Zahl 6.
- Fall f'''(x) ein Term mit x ist, setze dort den x-Wert aus dem Schritt vorher ein.
- Berechne damit den Zahlenwert des Terms. Spätestens dann ist f''' eine Zahl.
- Wenn f'''(x) schon vorher eine Zahl war, mache mit dieser Zahl weiter.
- Im Beispiel war es die Zahl 6.
- Wenn diese Zahl kleiner als 0 ist, dann liegt dort ein LR-WP ↗
- Wenn diese Zahl größer als 0 ist, dann liegt dort ein RL-WP ↗
- Wenn diese Zahl gleich 0 ist, ist die Sache weiter unklar.
- Im Beispiel haben wir also einen RL-WP ↗
- Siehe auch dritte Ableitung und Wendepunkt ↗
LR und RL
- LR meint, dass die Krümmung von links nach rechts wechselt.
- RL meint, dass die Krümmung von rechts nach links wechselt.
Vorzeichenkriterium
- Die zweite Ableitung hat den x-Wert eines möglichen WP geliefert.
- Wenn f'''=0 wird, dann ist es unklar, ob dort tatsächlich ein WP liegt.
- Nur für diesen Fall verwendet man dann das Vorzeichenkriterium:
- Man überprüft dann die Krümmung links und rechts vom möglichen x-Wert.
- Ist der mögliche x-Wert eines WP z. B. 4, dann nimmt man die 3,9 und die 4,1.
- Diese Zahlen setzt man in die zweite Ableitung f'' ein und sieht was rauskommt.
- Ist f'' einmal positiv und einmal negativ, dann ist bei dem x-Wert sicher ein WP.
- Ist f'' beide mal positiv, beide mal negativ oder beide mal 0, dann sicher nicht.
- Nur wenn es also einen Vorzeichenwechsel von f'' gibt, hat man sicher einen WP.