Wendepunkte bestimmen
Anleitung
Basiswissen
Über f''(x) und f'''(x) oder auch das Vorzeichenkriterium oder graphisch: hier stehen Anleitungen, wie man Wendepunkte auf Graphen von Funktionen bestimmt. Übrigens: auch ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, nur ein besonderer.
Was meint Punkt hier?
◦ Ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich die Krümmung ändert.
◦ Krümmungsänderung meint hier "von links nach rechts" oder umgekehrt.
◦ Der Punkt setzt sich aus einer x- und einer y-Koordinate zusammen.
◦ Wendestelle meint nur den x-Wert.
◦ Wendewert meint nur den y-Wert.
◦ Wendepunkt meint beides zusammen.
◦ WP ist die Abkürzung.
Wendepunkt graphisch bestimmen =====
◦ Man geht gedanklich mit dem Finger von links nach rechts den Graphen einer Funktion entlang.
◦ An einem Punkt, an dem die Krümmung von links nach rechts wechselt oder umgekehrt ist ein Wendepunkt.
◦ Man kann von diesem Punkt dann die x- und y- Koordinaten ablesen. Das ist der Wendepunkt.
◦ Siehe auch als Tipp auch => 2D-Punkt aus Koordinatensystem [ablesen]
◦ Hintergrund => Rechtskrümmung
◦ Hintergrund => Linkskrümmung
Wendepunkt rechnerisch bestimmen =====
In der Schulmathematik werden Wendepunkte meist rechnerisch über Ableitungen bestimmt. Man benötigt dafür nur die zweite und die dritte Ableitung. Das ist hier Schritt für Schritt erklärt.
f' und der WP
◦ f' ist die erste Ableitung.
◦ Sie ist für Wendepunkte egal.
◦ Man braucht sie nur, um damit ...
◦ die zweite Ableitung zu erstellen.
◦ Beispiel: f(x)=x³ gibt f'(x)=3x².
f'' und der WP
◦ f'' ist die zweite Ableitung.
◦ Man leitet also f'(x) noch einmal ab.
◦ f'(x) abgeleitet gibt f''(x)=6x.
◦ Für den WP muss f''(x)=0 werden.
◦ Also: f'' gleich 0 setzen und nach x auflösen
◦ Im Beispiel gibt kommt heraus: x=0
◦ Bei x=0 ist jetzt ein WP möglich.
◦ Wäre die Gleichung nicht lösbar gewesen, ...
◦ dann gäbe es auch sicher keinen Wendepunkt.
◦ Hier im Beispiel ist aber ein WP möglich.
◦ Ob bei x=0 wirklich ein WP vorliegt, ...
◦ das sagt die dritte Ableitung f'''.
f''' und der WP
◦ f''' ist die dritte Ableitung.
◦ f''(x) abgeleitet gibt f'''(x).
◦ Im Beispiel gibt f''(x) abgeleitet f'''(x)=6.
◦ f'''(x) ist entweder eine Zahl oder ein Term mit x.
◦ Im Beispiel hier ist es einfach nur die Zahl 6.
◦ Falls sie ein Term mit x ist, setze dort x aus dem Schritt vorher ein.
◦ Berechne damit den Zahlenwert des Terms. Spätestens dann ist f''' eine Zahl.
◦ Wenn f'''(x) schon vorher eine Zahl war, mache mit dieser Zahl weiter.
◦ Im Beispiel war es die Zahl 6.
◦ Wenn diese Zahl kleiner als 0 ist, dann liegt dort ein => LR-WP
◦ Wenn diese Zahl größer als 0 ist, dann liegt dort ein => RL-WP
◦ Wenn diese Zahl gleich 0 ist, ist die Sache weiter unklar.
◦ Im Beispiel haben wir also einen => RL-WP
◦ Siehe auch => dritte Ableitung und Wendepunkt
LR und RL
◦ LR meint, dass die Krümmung von links nach rechts wechselt.
◦ RL meint, dass die Krümmung von rechts nach links wechselt.
Vorzeichenkriterium
◦ Die zweite Ableitung hat den x-Wert eines möglichen WP geliefert.
◦ Wenn f'''=0 wird, dann ist es unklar, ob dort tatsächlich ein WP liegt.
◦ Nur für diesen Fall verwendet man dann das Vorzeichenkriterium:
◦ Man überprüft dann die Krümmung links und rechts vom möglichen x-Wert.
◦ Ist der mögliche x-Wert eines WP z. B. 4, dann nimmt man die 3,9 und die 4,1.
◦ Diese Zahlen setzt man in die zweite Ableitung f'' ein und sieht was rauskommt.
◦ Ist f'' einmal positiv und einmal negativ, dann ist bei dem x-Wert sicher ein WP.
◦ Ist f'' beide mal positiv, beide mal negativ oder beide mal 0, dann sicher nicht.
◦ Nur wenn es also einen Vorzeichenwechsel von f'' gibt, hat man sicher einen WP.
Wie findet man den y-Wert?
◦ Man nimmt die x-Werte von sicheren Wendepunkten.
◦ Man setzt die x-Werte der gefundenen Wendepunkte in die ursprüngliche Funktion f(x) ein.
◦ Was dabei rauskommt sind die y-Werte der Wendepunkte.
◦ Im Beispiel wäre der x-Wert die Zahl 0.
◦ In f(x) eingesetzt gibt das y=0.
◦ Der WP ist also bei (0|0).
Tipp
◦ Wenn möglich, immer den Graphen der Funktion betrachten.
◦ WP erkennt man oft leicht. Damit kann man das Ergebnis überprüfen.
In der Schulmathematik werden Wendepunkte meist rechnerisch über Ableitungen bestimmt. Man benötigt dafür nur die zweite und die dritte Ableitung. Das ist hier Schritt für Schritt erklärt.
f' und der WP
◦ f' ist die erste Ableitung.
◦ Sie ist für Wendepunkte egal.
◦ Man braucht sie nur, um damit ...
◦ die zweite Ableitung zu erstellen.
◦ Beispiel: f(x)=x³ gibt f'(x)=3x².
f'' und der WP
◦ f'' ist die zweite Ableitung.
◦ Man leitet also f'(x) noch einmal ab.
◦ f'(x) abgeleitet gibt f''(x)=6x.
◦ Für den WP muss f''(x)=0 werden.
◦ Also: f'' gleich 0 setzen und nach x auflösen
◦ Im Beispiel gibt kommt heraus: x=0
◦ Bei x=0 ist jetzt ein WP möglich.
◦ Wäre die Gleichung nicht lösbar gewesen, ...
◦ dann gäbe es auch sicher keinen Wendepunkt.
◦ Hier im Beispiel ist aber ein WP möglich.
◦ Ob bei x=0 wirklich ein WP vorliegt, ...
◦ das sagt die dritte Ableitung f'''.
f''' und der WP
◦ f''' ist die dritte Ableitung.
◦ f''(x) abgeleitet gibt f'''(x).
◦ Im Beispiel gibt f''(x) abgeleitet f'''(x)=6.
◦ f'''(x) ist entweder eine Zahl oder ein Term mit x.
◦ Im Beispiel hier ist es einfach nur die Zahl 6.
◦ Falls sie ein Term mit x ist, setze dort x aus dem Schritt vorher ein.
◦ Berechne damit den Zahlenwert des Terms. Spätestens dann ist f''' eine Zahl.
◦ Wenn f'''(x) schon vorher eine Zahl war, mache mit dieser Zahl weiter.
◦ Im Beispiel war es die Zahl 6.
◦ Wenn diese Zahl kleiner als 0 ist, dann liegt dort ein => LR-WP
◦ Wenn diese Zahl größer als 0 ist, dann liegt dort ein => RL-WP
◦ Wenn diese Zahl gleich 0 ist, ist die Sache weiter unklar.
◦ Im Beispiel haben wir also einen => RL-WP
◦ Siehe auch => dritte Ableitung und Wendepunkt
LR und RL
◦ LR meint, dass die Krümmung von links nach rechts wechselt.
◦ RL meint, dass die Krümmung von rechts nach links wechselt.
Vorzeichenkriterium
◦ Die zweite Ableitung hat den x-Wert eines möglichen WP geliefert.
◦ Wenn f'''=0 wird, dann ist es unklar, ob dort tatsächlich ein WP liegt.
◦ Nur für diesen Fall verwendet man dann das Vorzeichenkriterium:
◦ Man überprüft dann die Krümmung links und rechts vom möglichen x-Wert.
◦ Ist der mögliche x-Wert eines WP z. B. 4, dann nimmt man die 3,9 und die 4,1.
◦ Diese Zahlen setzt man in die zweite Ableitung f'' ein und sieht was rauskommt.
◦ Ist f'' einmal positiv und einmal negativ, dann ist bei dem x-Wert sicher ein WP.
◦ Ist f'' beide mal positiv, beide mal negativ oder beide mal 0, dann sicher nicht.
◦ Nur wenn es also einen Vorzeichenwechsel von f'' gibt, hat man sicher einen WP.