Basiswissen

Kontext

• Hier geht es um die Bestimmung von Wendepunkten über Ableitungen.
  

• x-Werte, die die 2. Ableitung zu 0 machen sind mögliche Wendestellen.
  

• Man setzt diese x-Werte dann in die 3. Ableitung ein:
  

• f'''(x) kleiner als 0 LR-WP ↗
  

• f'''(x) größer als 0 RL-WP ↗
  

• f'''(x) gleich 0: unklar
  

Beispiel

• Man hat die Funktion: f(x)=x^5
  

• Der Graph sieht ähnlich aus wie f(x)=x^3 ↗
  

• Man sieht am Graphen: bei (0|0) ist ein WP.
  

• Links von (0|0) ist f(x) rechtgekrümmt.
  

• Rechts von (0|0) ist f(x) linksgekrümmt.
  

• Jetzt betrachten wir uns die Ableitungen:
  

• f'(x) = 5x^4
  

• f''(x) = 20x³
  

• f'''(x) = 60x²
  

• f''(x) = 0 gibt als mögliche Wendestellen: x=0
  

• f'''(0) gibt aber auch 0. Also ist die Lage weiter unklar.
  

• Der Graph sagt eindeutig, dass es dort einen WP gibt.
  

• Um das rechnerisch zu erkennen, betrachtet man einen Vorzeichenwechsel.
  

• Wie das geht, steht unter Wendepunkte bestimmen ↗