Linsenformel
Optik
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Brennweite｜
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Bildweite｜
Systemweite｜
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Fußnoten
Basiswissen
1/f = 1/g + 1/b: mit Hilfe der Linsenformel [1], auch Linsengleichung genannt [2], kann man berechnen, an welche zwei Stellen man eine Sammellinse (bikonvex) halten kann, sodass auf einer Wand oder einem Schirm ein scharfes Bild entsteht. Die Linsenformel gehört zum Thema Strahlenoptik. Mathematisch interessant ist sie unter anderem, weil die zwei Lösungen der pq-Formel hier beide eine physikalische Bedeutung haben. [3]
Formel
Der Kehrwert der Brennweite f ist gleich der Summe der Kehrwerte der Gegenstandsweite g und der Bildweite b:
- 1/f = 1/g + 1/b
- b+g = s
Legende
- f = Brennweite der Linse, z. B. in cm
- g = Gegenstandsweite (Abstand Gegenstand zur Linse)
- b = Bildweite (Abstand scharfes Bild zur Linse)
- s = Systemweite, Abstand des Gegenstandes zu seinem Abbild
- / = Bruchstrich oder 👉 Geteiltzeichen
Um die Formel nach einer der Unbekannten umzustellen, muss man die Regeln zum Bruchrechnen anwenden. Hier sind die drei möglichen Umstellungen:
- f = g·b/(g+b)
- g = b·f/(b-f)
- b = g·f/(g-f)
Randbedingungen
- Die Sammellinse muss vergleichsweise dünn sein.
- Die Brennweite f hängt (geringfügig) von der Farbe des Lichts ab.
- Die Summe aus Bild- und Gegenstandsweite ist der Abstand vom Gegenstand zu seinem Bild.
Deutung
Mit der Linsenformel kann man wahlweise die Bildweite b oder die Gegenstandsweite g berechnen, bei der bei gegebener Systemweit s=g+b ein scharfes Bild entsteht. Man erhält dann als Ergebnis entweder einen Wert für b oder für g. Damit ist dann auch die Position gegeben, an die man sie halten muss, um ein scharfes Bild zu erhalten. Der Wert für b sagt, wie weit entfernt von Schirm man die Linse halten muss. Der Wert für g sagt, wie weit entfernt vom ursprünglichen Gegenstand, dem Objekt man die Linse halten muss, zum Beispiel:
- b = 22 cm heißt: halte die Linse 22 cm entfernt vom Schirm. Dann gibt es ein scharfes Bild. ✓
- g = 22 cm heißt: halte die Linse 22 cm entfernt vom Gegenstand. Dann gibt es ein scharfes Bild. ✓
Die Position näher am Gegenstand gibt dabei das Großbild. Die Position näher am Schirm (Wand, Papier etc.) gibt das Kleinbild.
Video
Das Video zeigt die reale Situation für das hier verwendete Rechenbeispiel. Es wird gezeigt wie die Lupe für das Großbild und wie sie für das Kleinbild gehalten werden muss. Die Abweichung der im Video gemessenen Werte (19,5 statt 22 cm) können auf Messungenauigkeiten und vielleicht auch auf eine ungenaue Angabe der Brennweite durch den Hersteller der Lupe erklärt werden. Um zu einer besseren Übereinstimmung zu kommen, müsste man die Brennweite der Lupe noch einmal gesondert bestimmen.
Rechenwege
Mit Hilfe der Linsenformel kann man ohne praktische Versuche die Positionen herausfinden, an die man eine Lupe halten muss, sodass dadurch entweder ein Groß- oder ein Kleinbild entsteht. Es gibt zwei ähnliche Methoden. Man kann einmal die Lösung der Linsengleichung durch planvolles Probieren finden. Oder aber man geht ganz analytisch mit Termumformungen und mit Hilfe der pq-Formel vor.
Annahmen
- Der Abstand vom Gegenstand zum Schirm (b+g) sei 250 cm.
- Diesen Abstand s nennen wir hier auch Systemweite.
- Die Brennweite der Linse sei 20 cm.
- Wichtig: b+g ist immer gleich s.
Probieren
Wer unsicher im Umfang mit Äquivalenzumformungen oder dem Lösen einer quadratischen Gleichung ist, kann eine ausreichend gute Lösung auch durch intelligentes Probieren finden. Dazu sollte man einen Taschenrechner verwenden.
- Man denkt sich irgendeinen möglichen Wert für b aus, z. B. 50 cm.
- Dann weiß man wegen b+g=250, dass g=200 gelten muss.
- Die Lupe hat als Kennwert f=20.
- Wie gut passt: 1/f = 1/g + 1/g?
- Wie gut passt: 1/20 = 1/50 + 1/200
- Mit Taschenrechner:
- 0,05 = 0,025 | passt nicht gut.
- Dann anderen Wert für b annehmen, z. b. 40 cm.
- Damit sehen, ob die Gleichung besser aufgeht.
- Solange probieren, bis links und rechts in etwa dieselben Zahlen stehen.
- Siehe mehr unter 👉 Linsenformel über Probieren
pq-Formel
Wer gut mit Brüchen und mit quadratischen Gleichungen umgehen kann, kann die zwei geeigneten Positionen der Linse auch direkt mit Hilfe der pq-Formel berechnen.
- Es muss gelten: b+g = 250
- Es muss gelten: 1/20 = 1/g + 1/b
- Das ist ein 👉 Gleichungssystem
- Man drückt eine Unbekannte über die andere aus.
- Zum Beispiel g = 250-b oder b = 250-g
- Man ersetzt dann in der anderen Gleichung eine der Unbekannten.
- Das nennt man eine 👉 Substitution
- Nimmt man z. B. g = 250-b erhählt man:
- 1/20 = 1/(250-b) + 1/b | 👉 Brüche addieren
- 1/20 = [b+250-b]/[(250-b)·b] | vereinfachen
- 1/20 = 250/(250b-b²) | 👉 Kehrwert
- 20 = (250b-b²)/250 | ·250
- 5000 = 250b-b² | Umwandeln in 👉 Normalform für pq-Formel
- b²-250b+5000 | Anwenden der 👉 pq-Formel
- p = -250; q=5000
- 125±√(125²-5000) | Taschenrechner
- b₁ ≈ 228,08 ✓
- b₂ ≈ 21,92 ✓
Damit weiß man, dass man die Lupe entweder rund 228 cm von der Projektionsfläche (der Tafel, dem Schirm) entfernt halten muss oder alternativ rund 22 cm. Im ersten Fall erhält man das Großbild, im zweiten Fall das Kleinbild. Der Rechenweg ist noch einmal ausfürhlich erklärt auf der Seite 👉 Linsenformel über pq-Formel
Zahlenbeispiel
Angenommen, man hat einen hell leuchtenden Glühfaden aus einer Glühbirne. Dieser wird mit Hilfe einer Sammellinse auf eine Tafel projiziert. Der Abstand der Tafel zum Glühfaden soll 250 Zentimeter betragen. Für das Großbild wird die Lupe nahe an den Glühfaden gehalten. Für das Kleinbild wird die Lupe nahe an die Tafel gehalten. Dann kommt man mit Hilfe der Linsenformel zu folgenden berechneten Werten.
Kleinbild
- f = 20 cm
- g ≈ 228 cm
- b ≈ 22 cm
Großbild
- f = 20 cm
- g ≈ 22 cm
- b ≈ 228 cm
Gleichungen
- b+g = 250
- 1/20 ≈ 1/22 + 1/228
Legende
Kontrolle
Um die Gültigkeit der Linsenformel hier im Beispiel zu überprüfen, kann man die zwei Brüche auf der rechten Seite der Gleichung addieren. Man müsste dann als Summe einen Bruch mit einem Wert von ungefährt 1/20 heraus bekommen:
- 1/22 + 1/228 | kürzen mit 2
- 228/(22·228) + 22/(228·22) | addieren
- 250/5016
Als Dezimalzahl ist der so berechnete Bruch 250/5016 in etwa 0,0498 und damit sehr nahe am Wert 0,05 für den Bruch 1/20 als Kehrwert der Brennweite. ✓
Fachbegriffe
Brennweite
- f:
- Die Brennweite ist eine Eigenschaft der Linse.
- Die Brennweite ist oft auf der Verpackung mit angegeben.
- Typische Lupen haben Brennweiten von z. B. 20 oder 30 cm.
- Die Brennweite ist der Kehrwert der 👉 Dioptrien
- Die Brennweite ist der Abstand von der Lupe, in dem die Sonnenstrahlen am engsten gebündelt werden können. Zu Definition siehe auch den ausführlichen Artikel zur 👉 Brennweite
- Ein einfacher Versuch kann die 👉 Brennweite bestimmen
Gegenstandsweite
- g:
- Der Gegenstand ist hier die Sache, von der ein Bild erzeugt werden soll.
- Im Beispiel war der Gegenstand eine Kerze oder der Glühfaden einer Lampe.
- Die Entfernung von diesem Gegenstand zur Mitte der Linse heißt Gegegenstandsweite.
- Die übliche Abkürzung dafür ist ein kleines g.
- Man gibt sie zum Beispiel an in cm oder m.
Bildweite
- b:
- Das Bild ist die Projektion des Gegenstandes auf eine Wand.
- Die Entfernung diese Projektion zur Mitte der Linse ist die Bildweite.
- Die übliche Abkürzung ist ein kleines b.
- Man gibt sie zum Beispiel an in cm oder m.
Systemweite
- s
- Der Abstand des ursprünglichen Gegenstandes von seinem scharfen Abbild.
- Der Begriff ist in der Fachsprache der Optik nicht etabliert.
- Man findet stattdess Bezeichnung wie z. B. Abstand-Gegenstand-Bild.
- Wir verwenden Systemweite hier um ein kurzes Wort für b+g zu haben.
- Es gilt per Definition: b+g=s
Anwendungen
Lupen-Kino
Hält man die Lupe entsprechen der Linsenformel für das Großbild nahe an eine Wand oder an ein Blatt Papier mit einem gegenüberliegenden Fenster, dann sieht man einen Film des Geschehens:
Hält man eine Leselupe (Brennglas) zwischen ein Fenster und ein hochgehaltenes Blatt Papier, gibt es eine besondere Position der Lupe, bei der das Fenster auf scheinbar magische Weise als scharfes kleines Bild auf dem Blatt Papier erscheint. Diese passende Position der Lupe kann man mit der sogenannten Linsenformel berechnen.
Der projizierte Film ist bunt, steht auf dem Kopf, zeigt bewegte Bilder und ist je nach Qualität der verwendeten Lupe recht scharf. Ideal es es, wenn die Szene außen vom Fenster von der Sonne hell beleuchtet ist. Geht dort außen jemand vor dem Fenster hin und her, sieht man die Bewegung auch auf dem projizierten Bild.
Camera obscura
Eine Camera obscura, auf Deutsch so viel wie ein dunkles Zimmer, ist ein ganzes Zimmer oder eine größere Kiste, die man abdunkeln kann. Dann wird mit Hilfe eines Loches (Lochkamera) oder mit Hilfe eine Linse ein Bild der äußeren Umwelt auf eine der Innenseiten der Kiste projiziert. Die Version mit Linse hatte den großen Vorteil, deutlich hellere Bilder zu erzeugen. Das von der Linse erzeugte Bild war dabei in der Regel das oben besprochene Kleinbild. So wird etwa eine große Landschaft oder ein großes Gebäude stark verkleinert und auf dem Kopf ins innere der Kiste (oder des Zimmers) geworfen. Eine solche Camera obscura wurde bis ins 18. Jahrhundert viel benutzt, etwa um die Gesetze des perspektivischen Zeichnens zu studieren. Siehe mehr unter 👉 Camera obscura
Fotografie
- Die Gegenstandsweite g ist hier die Entfernung der Sache, ...
- die man fotografieren möchte zur Linse der Photokamera.
- Die Bildweite b ist der Abstand der Linsenmitte zur Projektionsfläche.
- Die Projektionsfläche, zum Beispiel die Rückseite einer Fotokamera.
- Bei flachen Kameras (Webcams) sind das oft nur wenige Millimeter.
- Die Formel zeigt unter anderem, wie flach man Kameras bauen kann.
Fußnoten
- [1] Der Begriff Linsenformel wird zum Beispiel verwendet in: der Artikel "Bildweite". Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 2 Stuttgart, Leipzig 1905., S. 32. Online: http://www.zeno.org/nid/20005973775
- [2] Der Begriff Linsengleichung wird zum Beispiel verwendet in: der Artikel "Fokometer". Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 4 Stuttgart, Leipzig 1906., S. 141. Online: http://www.zeno.org/nid/20006021883
- [3] Die quadratische Gleichung 0 = x²-5x+6 hat zwei Lösungen, nämlich die Zahlen 2 und 3. Der Lösungsterm -p/2±√((p/2)²-q) liefert über das Plusminuszeichen immer beide Lösungen (falls es zwei gibt). Interessant ist hier das Zusammenspiel von Mathematik und physikalischer Realität: beide Lösungen der pq-Formel sind im Beispiel der Linsenformel physikalisch sinnvoll deutbar (ein anderes Beispiel ist die Formel für den senkrechten Wurf).