Gödelscher Unvollständigkeitssatz

Logik

Basiswissen

In jeder formalen Logik kann man Aussagen konstruieren, die mit dieser formalen Logik nicht entscheidbar sind: diese berühmte und bewiesene Erkenntnis Gödels erschütterte im im 20ten Jahrhundert das Vertrauen in die Logik. Dazu hier mehr.

Grundidee

Der österreichische Logiker Kurt Gödel (1906 bis 1978) konnte zeigen, dass man in jedem formalen System, dass zur Unterscheidung wahrer von falschen Aussagen dient, unentscheidbare Aussagen formuliert werden können. Vielen konstruierten Beispielen liegen selbstbezügliche Aussagen über Mengen im mathematischen Sinn zugrunde. Für Beispiele siehe unter Unentscheidbarkeiten ↗

Beispiel: der Barbier von Sevilla

Berühmt ist das Beispiel des Barbiers von Sevilla: der Barbier schneidet allen - und nur solchen - Männern den Bart, die sich ihn nicht selbst schneiden. Mehr unter Barbier von Sevilla ↗

Tragweite des Satzes

Gödels Satz wirft grundlegende Zweifel an der vollständigen Erkennbarkeit der Welt mithilfe formal-logischer Gedankensysteme auf. Entsprechend spielt der Satz eine große Rolle in der Erkenntnistheorie. So entwickelte beispielsweise Roger Penrose Argumente dafür, dass (menschliches) Bewusstsein vor allem dort auftrete, wo unentscheidbare Probleme zu bearbeiten seien, siehe etwa Computerdenken ↗

Fußnoten

[1] Kurt Gödel: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. In: Monatshefte für Mathematik und Physik. 38, 1931, S. 173–198. DOI: doi:10.1007/BF01700692. Siehe auch