Flächenbilanz
Integralrechnung
Definition
Als Flächenbilanz bezeichnet man bei Funktionsgraphen das Ergebnis einer gegenseitigen Verrechnung von Flächen unter- und oberhalb der x-Achse. Flächen unterhalb der x-Achse verringern dabei das Endergebnis: Hat ein Graph in einem bestimmen Bereich (Intervall) 5 FE (Flächeneinheiten) unter der x-Achse und 6 FE über der x-Achse, dann ist seine Flächenbilanz 1 FE. Das + und das - gleichen sich also aus gegenseitig aus.
Was muss gegeben sein?
◦ Man hat eine Funktion f(x) mit einem Graphen.
◦ Man betrachtet ein Intervall von a bis b.
◦ a ist die => linke Integrationsgrenze
◦ b ist die => rechte Integrationsgrenze
◦ Zwischen a und b darf es eine oder auch mehrere Nullstellen geben.
◦ Es muss aber keine Nullstelle im Intervall a bis b vorhanden sein.
Wie wird die Flächenbilanz berechnet?
◦ Die Flächenbilanz berechnet man immer zwischen zwei Grenzen a und b.
◦ Die Flächenbilanz ist gleich dem bestimmten Integral von a bis b.
◦ Man bildet erst die Stammfunktion F(x) und rechnet dann: F(b)-F(a)
◦ Das Ergebnis ist dann immer der Wert der Flächenbilanz.
◦ Siehe auch => bestimmtes Integral berechnen
Wie bestimmt man die Flächenbilanz graphisch?
◦ Man geht dabei überschlägig vor:
◦ Man schätzt Teilflächen am Funktionsgraph ab.
◦ Was über der x-Achse liegt wird addiert.
◦ Was unter der x-Achse liegt, wird subtrahiert.
◦ Das Ergebnis kann negativ, positiv oder auch 0 sein.
◦ Lies mehr unter => anschaulich integrieren
Wie lässt sich die Flächenbilanz deuten?
◦ Von a bis b verläuft der Graph teilweise über und teilweise unter der x-Achse.
◦ Man betrachtet alle Teilflächen und addiert sie gedanklich zusammen.
◦ Dabei rechnet man Flächen unter der x-Achse als negative Zahl.
◦ Flächen oberhalb der x-Achse rechnet man als positive Zahl.
◦ Die Summe aus negativen und positiven Werten ist die Flächenbilanz.
◦ Die Flächenbilanz kann positiv, negativ oder auch 0 sein.
Was wäre ein Beispiel?
◦ f(x)=x-3
◦ Mit a = 0 und b = 3:
◦ Das ist eine Normalgerade, die um 3 nach unten geschoben ist.
◦ Eine Nullstelle hat sie bei x=3.
◦ Von 0 bis 3 liegt die Fläche unter der Kurve.
◦ Der orientierte Flächeninhalt ist -4,5.
◦ (Die absolute Fläche bzw. der Flächenbetrag wäre 4,5.)
◦ Von 3 bis 7 ist die Fläche dann ganz über der x-Achse.
◦ Die orientierte Fläche von 3 bis 7 ist dann 8.
◦ Die Flächenbilanz von 0 bis 8 wäre dann -4,5 plus 8, also: 3,5 ✔
