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Flächenbilanz

Integralrechnung

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Definition · Was muss gegeben sein? · Wie wird die Flächenbilanz berechnet? · Wie bestimmt man die Flächenbilanz graphisch? · Wie lässt sich die Flächenbilanz deuten? · Was wäre ein Beispiel? · Wie schreibt man die Flächenbilanz formal auf? · Ist die orientierte Fläche dasselbe wie eine Flächenbilanz? · Synonyme


Definition


Als Flächenbilanz bezeichnet man bei Funktionsgraphen das Ergebnis einer gegenseitigen Verrechnung von Flächen unter- und oberhalb der x-Achse. Flächen unterhalb der x-Achse verringern dabei das Endergebnis: Hat ein Graph in einem bestimmen Bereich (Intervall) 5 FE (Flächeneinheiten) unter der x-Achse und 6 FE über der x-Achse, dann ist seine Flächenbilanz 1 FE. Das + und das - heben sich also aus gegenseitig aus.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Bei der Flächenbilanz wirken sich Flächen unterhalb der x-Achse negativ auf die Gesamtfläche aus, sie machen also das Endergebnis kleiner.☛


Was muss gegeben sein?


  • Man hat eine Funktion f(x) mit einem Graphen.
  • Man betrachtet ein Intervall von a bis b.
  • Zwischen a und b darf es eine oder auch mehrere Nullstellen geben.
  • Es muss aber keine Nullstelle im Intervall a bis b vorhanden sein.

Wie wird die Flächenbilanz berechnet?


  • Die Flächenbilanz berechnet man immer zwischen zwei Grenzen a und b.
  • Die Flächenbilanz ist gleich dem bestimmten Integral von a bis b.
  • Man bildet erst die Stammfunktion F(x) und rechnet dann: F(b)-F(a)
  • Das Ergebnis ist dann immer der Wert der Flächenbilanz.

Wie bestimmt man die Flächenbilanz graphisch?


  • Man geht dabei überschlägig vor:
  • Man schätzt Teilflächen am Funktionsgraph ab.
  • Was über der x-Achse liegt wird addiert.
  • Was unter der x-Achse liegt, wird subtrahiert.
  • Das Ergebnis kann negativ, positiv oder auch 0 sein.

Wie lässt sich die Flächenbilanz deuten?


  • Von a bis b verläuft der Graph teilweise über und teilweise unter der x-Achse.
  • Man betrachtet alle Teilflächen und addiert sie gedanklich zusammen.
  • Dabei rechnet man Flächen unter der x-Achse als negative Zahl.
  • Flächen oberhalb der x-Achse rechnet man als positive Zahl.
  • Die Summe aus negativen und positiven Werten ist die Flächenbilanz.
  • Die Flächenbilanz kann positiv, negativ oder auch 0 sein.

Was wäre ein Beispiel?


  • f(x)=x-3
  • Mit a = 0 und b = 3:
  • Das ist eine Normalgerade, die um 3 nach unten geschoben ist.
  • Eine Nullstelle hat sie bei x=3.
  • Von 0 bis 3 liegt die Fläche unter der Kurve.
  • Der orientierte Flächeninhalt ist -4,5.
  • (Die absolute Fläche bzw. der Flächenbetrag wäre 4,5.)
  • Von 3 bis 7 ist die Fläche dann ganz über der x-Achse.
  • Die orientierte Fläche von 3 bis 7 ist dann 8.
  • Die Flächenbilanz von 0 bis 8 wäre dann -4,5 plus 8, also: 3,5 ✔

Wie schreibt man die Flächenbilanz formal auf?


  • ∫(x-3)·dx
  • Die Zahlen a und b schreibt man dann unten und oben an das Integralzeichen.
  • Das Ergebnis der dazugehörigen Rechnung ist der Integralwert.
  • Der Integralwert ist immer gleich der Flächenbilanz.

Ist die orientierte Fläche dasselbe wie eine Flächenbilanz?


  • Beide Begriffe meinen, dass man plus und minus unterscheidet.
  • Von orientierter Fläche spricht man eher bei einzelnen Flächenstücken.
  • Einzelnes Flächenstück meint hier: der Graph hat keine Nullstellen.
  • Orientiert meint dann: das Vorzeichen (auch ein negatives) wird behalten.
  • Eine orientierte Fläche kann als positiv oder auch negativ sein.
  • Flächenbilanz benutzt man eher bei der Addition mehrerer Flächenstücke.

Synonyme