Anschaulich integrieren
Visuell denken
Basiswissen
Integrieren heißt hier: den Wert eines bestimmten Integrals bestimmen. Eine überschlägige Abschätzung kann oft durch rein bildliches Denken bestimmt werden. Das wird hier an einem Beispiel Schritt-für-Schritt kurz erklärt.
Eine einfache Gerade als Beispiel
- Man hat eine Gerade.
- Man liest die Funktionswerte graphisch ab und nimmt Überschlagswerte.
- Im Beispiel gehe die Gerade vom Punkt (0|-2) bis zum Punkt (4|0,7).
- Sie schneidet die x-Achse an der Stelle x=3.
- Gesucht ist das Integral von 0 bis 4.
1. Schritt: Teilflächen abschätzen
- Man unterteilt die Gesamtfläche in Teilflächen.
- An jeder Nullstelle beginnt eine neue Teilfläche.
- Man schätzt die Größe (Flächeninhalt) der ersten Teilfläche.
- Man denkt sich dazu ein enges Rechteck um die Fläche gelegt.
- Im Beispiel wäre das Rechteck 3 Einheiten breit und 2 Einheiten hoch.
- Man kann gut abschätzen, dass das Dreieck dann davon die Hälfte ist.
- Die linke Teilfläche unterhalb der x-Achse hat in etwa 3 Flächeneinheiten.
- Das rechte Dreieck von x=3 bis x=4 kann man so abschätzen auf etwa 0,35 FE.
2.Schritt: Flächenbilanz bilden
- Nun addiert man die zwei Flächeninhalte.
- Was unter der x-Achse liegt wird dabei als negative Zahl gedeutet.
- Man hat also minus 3 und plus 0,35 Flächeneinheiten, in Summe: -2,65 FE
3. Schritt: Antwort formulieren
- Die Flächenbilanz entspricht dem gesuchten Wert des Integrals.
- Man kann also als Antwort folgende Abschätzung festhalten:
- Der Integralwert liegt bei etwa -2,65.
Welchen Sinn gibt ein nicht-sicher-exaktes Ergebnis?
- Bei vielen Fragestellung interessiert nicht der exakte Wert.
- Beispiel: man plant eine Windkraftanlage. Sie zu bauen kostet Energie.
- Über ihre Lebensdauer wird sie Energie produzieren.
- Die prodzierte Energie könnte die positive Fläche sein.
- Die investierte Energie wäre dann die negative Fläche.
- Es interessiert zunächst: wird die Anlage im Endergebnis ...
- mehr Energie produzieren als ihre Errichtung gekostet hat?
- Der Überschlag verrät, ob die Planung überhaupt weiterverfolgt werden sollte.
- Siehe auch unter Überschlagsrechnung ↗