Abstand von Punkt zu Gerade
Lösungsformel
Basiswissen
Abstand heißt hier: die kürzeste Entfernung. Kurz vorgestellt wird eine Berechnungsmethode mit Hilfe von Vektoren und Geraden (analytische Geometrie).
Gegeben
- Ein Punkt P als Ortsvektor ↗
- Eine Gerade g in Parameterform
- Mit p als Stützpunkt [der Geraden] ↗
- Mit v als Richtungsvektor [der Geraden] ↗
Variante I: Algorithmus
- Rechne: Ortsvektor von P minus Stützvektor von g
- Bilde mit dem Ergebnis das Kreuzprodukt mit dem Richtungsvektor von g
- Nimm vom Kreuzprodukt den Betrag (also die Länge).
- Dividiere das durch die Länge des Richtungsvektors von g.
- Das Ergebnis ist der Abstand von P zu g.
Variante II: über Hilfsebene
Man bildet erst eine sogenannte Hilfsebene E, die durch den Punkt P geht und senkrecht auf der Geraden g steht. Nimmt man den Punk P als Stützpunkt und den Richtungsvektor von g als Normalenvektor der gesuchten Ebene E. Man bildet dann den Schnittpunkt S der Geraden g mit der Ebene E. Der Abstand des ursprünglichen Punkte P zum jetzt gefundenen Schnittpunkt S ist dann auch der gesuchte Abstand des Punkt zur Ebene.
- 1. Schritt Punkt-Normalenform der Ebene ↗
- 2. Schritt Schnittpunkte von Geraden mit Ebenen 3D ↗
- 3. Schritt Abstand von Punkt zu Punkt ↗
Tipps
- Der Vektor von (0|0|0) zu einem Punkt heißt Ortsvektor ↗
- Eine Gerade hat immer einen Richtungsvektor ↗
- Vektor mal Vektor meint hier das Kreuzprodukt ↗
- Eine Art 3D-Pythagoras gibt den Vektorbetrag ↗