Basiswissen

Abstand heißt hier: die kürzeste Entfernung. Kurz vorgestellt wird eine Berechnungsmethode mit Hilfe von Vektoren und Geraden (analytische Geometrie).

Gegeben

Ein Punkt P als 👉 Ortsvektor

Eine Gerade g in Parameterform

Mit p als 👉 Stützpunkt [der Geraden]

Mit v als 👉 Richtungsvektor [der Geraden]

Variante I: Algorithmus

Rechne: Ortsvektor von P minus Stützvektor von g

Bilde mit dem Ergebnis das Kreuzprodukt mit dem Richtungsvektor von g

Nimm vom Kreuzprodukt den Betrag (also die Länge).

Dividiere das durch die Länge des Richtungsvektors von g.

Das Ergebnis ist der Abstand von P zu g.

Variante II: über Hilfsebene

Man bildet erst eine sogenannte Hilfsebene E, die durch den Punkt P geht und senkrecht auf der Geraden g steht. Nimmt man den Punk P als Stützpunkt und den Richtungsvektor von g als Normalenvektor der gesuchten Ebene E. Man bildet dann den Schnittpunkt S der Geraden g mit der Ebene E. Der Abstand des ursprünglichen Punkte P zum jetzt gefundenen Schnittpunkt S ist dann auch der gesuchte Abstand des Punkt zur Ebene.

1. Schritt 👉 Punkt-Normalenform der Ebene

2. Schritt 👉 Schnittpunkte von Geraden mit Ebenen 3D

3. Schritt 👉 Abstand von Punkt zu Punkt

Tipps

Der Vektor von (0|0|0) zu einem Punkt heißt 👉 Ortsvektor

Eine Gerade hat immer einen 👉 Richtungsvektor

Vektor mal Vektor meint hier das 👉 Kreuzprodukt

Eine Art 3D-Pythagoras gibt den 👉 Vektorbetrag