Wurzel
Definition
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Einführung ·
Was wird hier erklärt? ·
Was kann eine Wurzel haben? ·
Was meint Wurzel (Definition)? ·
Beispiele ·
Gibt es (reelle) Wurzeln aus negativen Zahlen? ·
Gibt es überhaupt Wurzeln aus negativen Zahlen? ·
Können Wurzeln selbst negativ sein? ·
Was meint "Quadratwurzel"? ·
Was sind wichtige Fachbegriffe? ·
Formeln ·
Synonyme ·
Fußnoten
Einführung
Die Wurzel von der Zahl 16 ist die 4. Denn: 4 mal 4 gibt wieder 16. Neben dieser sogenannten Quadratwurzel gibt es noch weitere Wurzelarten. Das zeichen für die Wurzel ist √. Diese werden hier kurz vorgestellt.
Was wird hier erklärt?
- Hier wird die "normale Wurzel" aus einer Zahl erklärt.
- Eine normale Wurzel wäre zum Beispiel die 3 von der 9.
- Diese normale Wurzel heißt auch Quadratwurzel.
- Man sagt oft nur kurz: die "Wurzel".
Was kann eine Wurzel haben?
- Wurzel meint immer "Wurzel von einer Zahl".
- Viele Zahlen haben eine Wurzel (aber nicht alle).
- Wurzeln gibt es nur für nicht negative Zahlen[2] ↗
- Eine Ausnahme bilden aber Gleichungen.[3]
Was meint Wurzel (Definition)?
Wurzel gibt es nur für nicht-negative Zahlen. Nicht negativ sind alle positiven Zahlen und die Zahl 0. Die Wurzel aus einer Zahl z gibt mit sich selbst malgenommen wieder z. Zum Beispiel ist die Wurzel von 25 die Zahl 5, denn 5 mal 5 gibt wieder 25.
- Als Wurzeln gelten nur positive Zahlen und die Zahl 0[1].
- Eine negative Zahl ist nie eine "echte Wurzel".[2]
- Eine negative Zahl kann auch keine Wurzel haben.[2]
Beispiele
- Die Wurzel von der 0 ist die 0, denn 0 mal 0 gibt 0.
- Die Wurzel von der 1 ist die 1, denn 1 mal 1 gibt 1.
- Die Wurzel von der 9 ist die 3, denn 3 mal 3 gibt 9.
- Die Wurzel von der 100 ist die 10, denn 10 mal 10 gibt 100.
Gibt es (reelle) Wurzeln aus negativen Zahlen?
- Nein, die -4 hat keine Wurzel.
- Zumindest nicht, wenn man nur mit reellen Zahlen rechnet.
- Mehr dazu unter Wurzel aus negativer Zahl ↗
Gibt es überhaupt Wurzeln aus negativen Zahlen?
- Ja, wenn man neben den reellen Zahlen auch komplexe Zahlen erlaubt.
- Reell nennt man jede Zahl, die irgendwo auf der Zahlengeraden liegen kann.
- Komplex nennt man Zahlen, die auch abseits der Zahlengeraden liegen dürfen.
- Eine Wurzel von -4 ist dann also komplexe Zahl 0+2i.
- Solche Wurzel gehören in die sogenannte Höhere Mathematik ↗
- Siehe mehr dazu unter komplexe Wurzel ↗
Können Wurzeln selbst negativ sein?
- Nein. Obwohl -2 mal -2 auch 4 gibt, ...
- ist die -2 zwei keine Wurzel von der 4.
- Denn: negative Zahlen gelten nicht als Wurzeln[1].
Was meint "Quadratwurzel"?
- Das ist die "normale" Wurzel, wie oben erklärt.
- Nur "Wurzel" meint die Quadratwurzel ↗
- Andere Wurzeln unter Wurzelarten ↗
Was sind wichtige Fachbegriffe?
- Eine Wurzel nennt man auch die Radix ↗
- Die Zahl, aus der man die Wurzel zieht heißt Radikand ↗
- Eine Wurzel bestimmen heißt Wurzel ziehen ↗
Formeln
- Die Entfernung eines Leuchtturms Leuchtturmformel ↗
- Die Dauer einer Pendelbewegung Pendelgesetz ↗
- Fallgesschwindigkeit von Hagel Hagelformel ↗
- Quadratische Gleichungen lösen pq-Formel ↗
Synonyme
Fußnoten
- [1] Wurzelfunktion. In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 5: Sed bis Zyl; 2002; ISBN: 3-8274-9437-1. Seite 426. Siehe auch Spektrum Lexikon der Mathematik [Buch] ↗
- [2] Wurzeln sind nur positive Zahlen: "… als n-te Wurzel aus a [wird eine] die positive Zahl bezeichnet. Man spricht bei der Berechnung dieser Zahl vom Radizieren oder Wurzelziehen und nennt a den Radikanden und n den Wurzelexponenten. Die 2. und die 3. Wurzel werden auch Quadratwurzel bzw. Kubikwurzel genannt." Bei dieser Definition legt das Lexikon ausdrücklich fest, dass der Radikand a größer als 0 und reell ist. Für den Wurzelexponenten n wird ausdrücklich festgelegt, dass es größer als 0 und ganzzahlig ist. In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort das Kapitel "1.1.4.2. Wurzel." Seite 8.
- [3] Im Zusammenhang mit Gleichungen aber gilt, im Widerspruch zur Forderung, dass Wurzeln nur positive Zahlen sind, dass die Wurzeln auch negative sein dürfen: "Die Gleichung x²=4 hat die zwei reellen Wurzeln x₁₂ = ±2" Und: "Die Gleichung x³=-8 hat die drei Wurzeln x₁=1+i√3, x₂=-2 und x₃=1-i√3." In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort das Kapitel "1.1.4.2. Wurzel." Seite 9.