A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 9 Ω
Das Banner der Rhetos-Website: zwei griechische Denker betrachten ein physikalisches Universum um sie herum.

Wurzel

Definition

© 2016 - 2025




Einführung


Die Wurzel von der Zahl 16 ist die 4. Denn: 4 mal 4 gibt wieder 16. Neben dieser sogenannten Quadratwurzel gibt es noch weitere Wurzelarten. Das zeichen für die Wurzel ist √. Diese werden hier kurz vorgestellt.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
Das Wurzelzeichen und die Zahl darunter, der Radikand: die Wurzel mit sich selbst malgenommen gibt wieder den Radikanden.☛


Was wird hier erklärt?


  • Hier wird die "normale Wurzel" aus einer Zahl erklärt.
  • Eine normale Wurzel wäre zum Beispiel die 3 von der 9.
  • Diese normale Wurzel heißt auch Quadratwurzel.
  • Man sagt oft nur kurz: die "Wurzel".

Was kann eine Wurzel haben?


  • Wurzel meint immer "Wurzel von einer Zahl".
  • Viele Zahlen haben eine Wurzel (aber nicht alle).
  • Eine Ausnahme bilden aber Gleichungen.[3]

Was meint Wurzel (Definition)?


Wurzel gibt es nur für nicht-negative Zahlen. Nicht negativ sind alle positiven Zahlen und die Zahl 0. Die Wurzel aus einer Zahl z gibt mit sich selbst malgenommen wieder z. Zum Beispiel ist die Wurzel von 25 die Zahl 5, denn 5 mal 5 gibt wieder 25.

  • Als Wurzeln gelten nur positive Zahlen und die Zahl 0[1].
  • Eine negative Zahl ist nie eine "echte Wurzel".[2]
  • Eine negative Zahl kann auch keine Wurzel haben.[2]

Beispiele


  • Die Wurzel von der 0 ist die 0, denn 0 mal 0 gibt 0.
  • Die Wurzel von der 1 ist die 1, denn 1 mal 1 gibt 1.
  • Die Wurzel von der 9 ist die 3, denn 3 mal 3 gibt 9.
  • Die Wurzel von der 100 ist die 10, denn 10 mal 10 gibt 100.

Gibt es (reelle) Wurzeln aus negativen Zahlen?


  • Nein, die -4 hat keine Wurzel.
  • Zumindest nicht, wenn man nur mit reellen Zahlen rechnet.

Gibt es überhaupt Wurzeln aus negativen Zahlen?


  • Ja, wenn man neben den reellen Zahlen auch komplexe Zahlen erlaubt.
  • Reell nennt man jede Zahl, die irgendwo auf der Zahlengeraden liegen kann.
  • Komplex nennt man Zahlen, die auch abseits der Zahlengeraden liegen dürfen.
  • Eine Wurzel von -4 ist dann also komplexe Zahl 0+2i.

Können Wurzeln selbst negativ sein?


  • Nein. Obwohl -2 mal -2 auch 4 gibt, ...
  • ist die -2 zwei keine Wurzel von der 4.
  • Denn: negative Zahlen gelten nicht als Wurzeln[1].

Was meint "Quadratwurzel"?


  • Das ist die "normale" Wurzel, wie oben erklärt.

Was sind wichtige Fachbegriffe?



Formeln



Synonyme



Fußnoten


  • [2] Wurzeln sind nur positive Zahlen: "… als n-te Wurzel aus a [wird eine] die positive Zahl bezeichnet. Man spricht bei der Berechnung dieser Zahl vom Radizieren oder Wurzelziehen und nennt a den Radikanden und n den Wurzelexponenten. Die 2. und die 3. Wurzel werden auch Quadratwurzel bzw. Kubikwurzel genannt." Bei dieser Definition legt das Lexikon ausdrücklich fest, dass der Radikand a größer als 0 und reell ist. Für den Wurzelexponenten n wird ausdrücklich festgelegt, dass es größer als 0 und ganzzahlig ist. In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort das Kapitel "1.1.4.2. Wurzel." Seite 8.
  • [3] Im Zusammenhang mit Gleichungen aber gilt, im Widerspruch zur Forderung, dass Wurzeln nur positive Zahlen sind, dass die Wurzeln auch negative sein dürfen: "Die Gleichung x²=4 hat die zwei reellen Wurzeln x₁₂ = ±2" Und: "Die Gleichung x³=-8 hat die drei Wurzeln x₁=1+i√3, x₂=-2 und x₃=1-i√3." In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort das Kapitel "1.1.4.2. Wurzel." Seite 9.