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Unbestimmtes Integral

Definition

Basiswissen


Ein unbestimmtes Integral ist ein Integral bei dem eine oder beide der Integrationsgrenzen unbestimmt sind. Alternativ kann man auch sagen, dass die Integrationskonstante C unbestimmt ist. Alle drei Varianten einer Definition sind hier kurz vorgestellt.

Beide Integrationsgrenzen sind unbestimmt


Ein Integral ohne Angabe von Grenzen: ∫x³·dx kann man über aufleiten bestimmen und schreiben als ¼·x⁴+C. Das Ergebnis ¼·x⁴+C steht für unendlich viele Stammfunktionen, die sich aber nur im Wert der festen Zahl C, der Integrationskonstanten, unterscheiden. Der Mathematik-Klassiker Bronstein[1] definiert: Das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion f(x) ist die Gesamtheit aller Stammfunktionen F(x)+C = ∫f(x)·dx

Nur die obere Integrationsgrenze ist unbestimmt


Ein Integral als Flächenfunktion: für ∫x³·dx kann man eine untere und obere Grenze angeben. Setzt man für die untere Grenze eine feste, konstante Zahl ein, für die obere Grenze aber eine Variable wie zum Beispiel r, dann entsteht eine sogenannte Integralfunktion. Nach dem Lehrbuch Papula ist eine solche Integralfunktion dann ein unbestimmtes Integral[2]. Sie gibt für jeden Wert von r den man dann als konkrete Zahl eingibt die Flächenbilanz von a bis r an. Siehe auch Integralfunktion ↗

Die Integrationskonstante C ist unbestimmt


Die Menge aller Funktionen F(x)+C die abgeleitet wieder f(x) ergeben, werden ebenfalls als unbestimmtes Integral definiert. Diese Definition ist identisch mit der Definition der zwei unbestimmten Integrationsgrenzen. Das unbestimmte Integral von f(x) = 3x² ist dann zum Beispiel F(x) = x³+C. Das große C steht für eine beliebige Zahl. Diese fällt beim Ableiten aber immer weg. Daher hat eine Funktion f(x) auch unendlich viele Stammfunktion, die man alle zusammen gedacht dann das unbestimmte Integral F(x)+C nennt. Siehe auch Integrationskonstante ↗

Fachworte



Fußnoten