Unbestimmtes Integral


Definition


Basiswissen


Ein unbestimmtes Integral ist ein Integral bei dem eine oder beide der Integrationsgrenzen unbestimmt sind. Alternativ kann man auch sagen, dass die Integrationskonstante C unbestimmt ist. Alle drei Varianten einer Definition sind hier kurz vorgestellt.

Beide Integrationsgrenzen sind unbestimmt


Ein Integral ohne Angabe von Grenzen: ∫x³·dx kann man über aufleiten bestimmen und schreiben als ¼·x⁴+C. Das Ergebnis ¼·x⁴+C steht für unendlich viele Stammfunktionen, die sich aber nur im Wert der festen Zahl C, der Integrationskonstanten, unterscheiden. Der Mathematik-Klassiker Bronstein [1] definiert: Das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion f(x) ist die Gesamtheit aller Stammfunktionen F(x)+C = ∫f(x)·dx

Nur die obere Integrationsgrenze ist unbestimmt


Ein Integral als Flächenfunktion: für ∫x³·dx kann man eine untere und obere Grenze angeben. Setzt man für die untere Grenze eine feste, konstante Zahl ein, für die obere Grenze aber eine Variable wie zum Beispiel r, dann entsteht eine sogenannte Integralfunktion. Nach dem Lehrbuch Papula ist eine solche Integralfunktion dann ein unbestimmtes Integral [2]. Sie gibt für jeden Wert von r den man dann als konkrete Zahl eingibt die Flächenbilanz von a bis r an. Siehe auch => Integralfunktion

Die Integrationskonstante C ist unbestimmt


Die Menge aller Funktionen F(x)+C die abgeleitet wieder f(x) ergeben, werden ebenfalls als unbestimmtes Integral definiert. Diese Definition ist identisch mit der Definition der zwei unbestimmten Intergrationsgrenzen. Das unbestimmte Intergral von f(x) = 3x² ist dann zum Beispiel F(x) = x³+C. Das große C steht für eine beliebige Zahl. Diese fällt beim Ableiten aber immer weg. Daher hat eine Funktion f(x) auch unendlich viele Stammfunktion, die man alle zusammen gedacht dann das unbestimmte Integral F(x)+C nennt. Siehe auch => Integrationskonstante

Fachworte


◦ ∫x³·dx = Ubestimmtes Integral
◦ ∫ => Integralzeichen
◦ x³ => Integrand
◦ dx => Differential [Mathematik]
◦ ¼·x⁴+C => Stammfunktion
◦ C => Integrationskonstante
◦ => Integrationsgrenzen

Quellen


◦ [1] Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Seite 493. Siehe auch => Der Bronstein
◦ [2] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Seite 436 ff. => Der Papula