Stammfunktion


F(x) ist Stammfunktion von f(x) wenn gilt: F'(x)=f(x)


Basiswissen


Der Begriff gehört in das Themengebiet Analysis und dort in die Integralrechnung. Oft gleichbedeutend verwendet werden die Worte Aufleitung, F(x)+C, Integral oder Integralfunktion.

Definition


◦ Eine Funktion F(x) ist eine Stammfunktion einer Funktion f(x), ...
◦ wenn gilt: die Ableitung F'(x) von F(x) gibt wieder f(x).
◦ Beispiel: F(x)=x²+4 ist eine Stammfunktion f(x)=2x.
◦ Denn: F(x)=x²+4 abgeleitet gibt f(x)=2x.

Erläuterung


◦ f(x) spricht man: klein-eff-von-iks
◦ F(x) spricht man: groß-eff-von-iks
◦ F'(x) spricht man: groß-eff-Strich-von-iks
◦ Eine Stammfunktion F(x) gehört immer zu einer Grundfunktion f(x).

Berechnung


◦ Eine Stammfunktion zu f(x) zu finden nennt man auch Aufleiten.
◦ Beispiel: f(x)=x³ gibt aufgeleitet F(x)=0,25·x^4.
◦ Mehr dazu unter => aufleiten

Integrationskonstante C


◦ Beim Ableiten fallen reine Zahlenwerte ohne x weg.
◦ x² abgeleitet gibt 2x. Aber auch x²+3 gäbe abgeleitet 2x.
◦ Also sind sowohl x² als auch x²+3 Stammfunktionen von 2x.
◦ Alle möglichen Stammfunktionen zusammengedacht schreibt man als x²+C.
◦ Das große C steht für eine beliebige Zahl, die beim Ableiten wieder wegfällt.
◦ Das große C nennt man die => Integrationskonstante [C]

Unbestimmtes Integral


◦ Eine Funktion f(x) hat wegen der Integrationskonstante unendliche viele Stammfunktion.
◦ Alle Stammfunktionen gleichzeitig gedacht nennt man auch => Unbestimmtes Integral

Warum hat f(x) viele verschiedene Stammfunktionen?


◦ Jede Funktion, die abgeleitet f(x) gibt, ist eine Stammfunktion von f(x).
◦ Weil reine Zahlen als Summanden ohne x beim Ableiten wegfallen, kann man sie vorher beliebig addieren.
◦ Beispiel: F(x) = 2x³ + 4 ⭢ gibt abgeleitet ⭢ 6x²
◦ Beispiel: F(x) = 2x³ + 9 ⭢ gibt abgeleitet ⭢ 6x²
◦ Beispiel: F(x) = 2x³ - 7 ⭢ gibt abgeleitet ⭢ 6x²
◦ Man kann zusammenfassend schreiben: F(x) = 6x²+C
◦ Diese F(x) = 6x²+C ist dann das unbestimmte Integral
◦ Siehe auch => Stammfunktion