Basiswissen

Definition

• Eine Funktion F(x) ist eine Stammfunktion einer Funktion f(x), ...
  

• wenn gilt: die Ableitung F'(x) von F(x) gibt wieder f(x).
  

• Beispiel: F(x)=x²+4 ist eine Stammfunktion f(x)=2x.
  

• Denn: F(x)=x²+4 abgeleitet gibt f(x)=2x.
  

Erläuterung

• f(x) spricht man: klein-eff-von-iks
  

• F(x) spricht man: groß-eff-von-iks
  

• F'(x) spricht man: groß-eff-Strich-von-iks
  

• Eine Stammfunktion F(x) gehört immer zu einer Grundfunktion f(x).
  

Berechnung

• Eine Stammfunktion zu f(x) zu finden nennt man auch Aufleiten.
  

• Beispiel: f(x)=x³ gibt aufgeleitet F(x)=0,25·x^4.
  

• Mehr dazu unter aufleiten ↗
  

Integrationskonstante C

• Beim Ableiten fallen reine Zahlenwerte ohne x weg.
  

• x² abgeleitet gibt 2x. Aber auch x²+3 gäbe abgeleitet 2x.
  

• Also sind sowohl x² als auch x²+3 Stammfunktionen von 2x.
  

• Alle möglichen Stammfunktionen zusammengedacht schreibt man als x²+C.
  

• Das große C steht für eine beliebige Zahl, die beim Ableiten wieder wegfällt.
  

• Das große C nennt man die Integrationskonstante [C] ↗
  

Unbestimmtes Integral

• Eine Funktion f(x) hat wegen der Integrationskonstante unendliche viele Stammfunktion.
  

• Alle Stammfunktionen gleichzeitig gedacht nennt man auch Unbestimmtes Integral ↗
  

Warum hat f(x) viele verschiedene Stammfunktionen?

• Jede Funktion, die abgeleitet f(x) gibt, ist eine Stammfunktion von f(x).
  

• Weil reine Zahlen als Summanden ohne x beim Ableiten wegfallen, kann man sie vorher beliebig addieren.
  

• Beispiel: F(x) = 2x³ + 4 ⭢ gibt abgeleitet ⭢ 6x²
  

• Beispiel: F(x) = 2x³ + 9 ⭢ gibt abgeleitet ⭢ 6x²
  

• Beispiel: F(x) = 2x³ - 7 ⭢ gibt abgeleitet ⭢ 6x²
  

• Man kann zusammenfassend schreiben: F(x) = 6x²+C
  

• Diese F(x) = 6x²+C ist dann das unbestimmte Integral
  

• Siehe auch Stammfunktion ↗