Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Kurzversion
Basiswissen
F'(x) = f(x) und F(x) = F(b)-F(a): der Hauptsatz besteht aus zwei Teilen. Der erster Teil ist: F'(x)=f(x). Der zweite Teil ist: Integral = F(b)-F(a). Das ist hier näher erklärt.
Erster Teil: F'(x) = f(x)
- Er sagt, dass jede Stammfunktion F(x) abgeleitet ...
- wieder die eigentliche Funktion f(x) gibt:
- F(x) = x²+4 gibt abgeleitet F'(x) = 2x
- F(x) = x²+5 gibt abgeleitet F'(x) = 2x
- Zu f(x) gibt es verschiedene F(x).
Zweiter Teil: Integral = F(b)-F(a)
- Der Hauptsatz bezieht sich immer auf eine Funktion f(x).
- Der 2. Teil sagt, wie man aus irgendeiner Stammfunktion von f(x) immer ...
- das bestimmte bestimmte Integral zwischen zwei Grenzen a und b berechnen kann.
- Die zwei Grenzen meinen hier zwei x-Werte auf der x-Achse.
- Die linke Grenze a darf auch 0 sein, aber auch jede andere Zahl.
- Die linke Grenz a muss dabei kleiner sein als die rechte Grenze b.
- Das Integral von a bis b ist dann dasselbe wie ...
- Das Integral von 0 bis b minus das Integral von 0 bis a.
- Das Integral ist anschaulich die Flächenbilanz ↗
Zweiter Teil: wie man es rechnet
- Man nimmt eine Funktion f(x) und bildet irgendeine Stammfunktion F(x).
- Stammfunktion meint: jede Funktion F(x), die abgeleitet wieder f(x) gibt
- Statt Stammfunktion sagt man auch Aufleitung ↗
- Man hat zwei x-Zahlen als untere Grenze a und obere Grenze b.
- a muss dabei immer die kleinere der beiden x-Zahlen sein.
- Man berechnet das Integral nach der Formel: F(b)-F(a)
- Das Ergebnis ist das bestimme Integral von f(x) von a nach b.
- Das bestimmte Integral gibt die Flächenbilanz von a nach b.
Beispiel zweiter Teil
- Man hat die Funktion f(x)=x ↗
- Gesucht: das bestimmte Integral von -1 bis 2
- Die linke Grenze a ist die -1, das b ist die 2.
- Man bildet eine Stammfunktion dazu: F(x)=0,5x²
- Jetzt F(2)-F(-1) berechnen gibt 2-0,5=1,5.
- Das bestimmte Integral von -1 bis 2 für f(x)=x ist also 1,5.
