Scheitelpunkt über pq-Formel
Anleitung
Basiswissen
Der Scheitelpunkt einer Parabel kann immer mit Hilfe einer abgewandelten Form der pq-Formel bestimmt werden. Dieses Methode ist einfach, wenn man die pq-Formel schon kennt. Die Methode funktioniert auch dann, wenn die Parabel selbst keine Nullstellen hat. Sie ist hier kurz skizziert.
Voraussetzungen
- Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel ↗
- Den höchsten oder tiefsten Punkt einer Parabel nennt man den Scheitelpunkt ↗
- Ihn zu bestimmen heißt, seinen x-Wert und seinen y-Wert herauszufinden.
- Eine Möglichkeit dazu ist die Verwendung einer Art pq-Formel für den Scheitelpunkt.
- Ausgangspunkt ist die Normalform für pq-Formel ↗
Normalform für die pq-Formel
- y = x² + px + q
Legende
- p ist immer der Faktor vor dem x ohne Quadrat.
- q ist immer die Zahl am Ende.
- Die Vorzeichen gehören zu p oder q.
Formel
- SP [-p:2|q-(p:2)²]
Legende
- x-Wert = -p:2
- y-Wert = q - (p:2)²
- Der Doppelpunkt : meint "durch"
Beispiel I
- y = x² + 4x + 10
- p = 4
- q = 10
- Formel: SP [-p:2|q-(p:2)²]
- Einsetzen: SP[-4:2|10-(4:2)²]
- SP[-2|6] ✓
Beispiel II
- y = x² + 4
- p = 0
- q = 4
- Formel: SP [-p:2|q-(p:2)²]
- Einsetzen: SP[-0:2|4-(0:2)²]
- SP[0|4] ✓
Beispiel III
- y = x² - 4
- p = 0
- q = -4
- Formel: SP [-p:2|q-(p:2)²]
- Einsetzen: SP[-0:2|-4-(0:2)²]
- SP[0|-4] ✓
Grundidee der Lösung
Gedanklich enthalten ist in diesem Lösungsansatz die Tatsache, dass der x-Wert des Scheitelpunktes einer Parabel immer genau in der Mitte zwischen den zwei Nullstellen der Parabel liegt. Hat eine Parabel zwei Nullstellen, dann ist der x-Wert des Scheitelpunktes immer genau die Mitte zwischen diesen zwei Nullstellen. Die Formel ist so gebaut, dass sie auch dann funktioniert, wenn die Parabel keine Nullstellen hat. Siehe auch Nullstellen über pq-Formel ↗
Die Mitte zwischen zwei Zahlen
Die Lösungsidee führt zu der interessanten Zwischenrechnung, wie man die Mitte zwischen zwei Zahlen finden kann. Welche Zahl zum Beispiel liegt genau in der Mitte zwischen der 10 und 100? Ein einfache Lösungsweg ist es, die zwei gegebenen Zahlen zu addieren (gäbe hier 110) und dann davon die Hälfte zu nehmen (hier also 55). Diese Rechnung gibt immer zuverlässig die Mitte zwischen zwei Zahlen ↗
Der Scheitelpunkt als Extrempunkt
Der Scheitelpunkt einer Parabel in einem xy-Koordinatensystem ist immer auch ein Extrempunkt im Sinne der Analysis (Rechnen mit Ableitungen). Zu den Extrempunkten gehören die sogenannten Hoch- und die Tiefpunkte. Kann man Extrempunkte über die erste und zweite Ableitung der Funktionsgleichung bestimmen, also mit f'(x) und f''(x), dann ist die Berechnung des Scheitelpunktes sehr einfach. Siehe dazu den Artikel zu Extrempunkte bestimmen ↗