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Kapillarwelle

Physik

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Basiswissen · Grenzfall zwischen Kapillar- und Schwerewelle · Geschwindigkeit und Wellenlänge · Rechenbeispiel · Eine Anwendung aus der Medizin · Fußnoten


Basiswissen


Als Kapillarwelle, auch Rippelwelle oder Kräuselwelle genannt[1], bezeichnet man Wellen, deren Form und Verhalten vor allem durch die Oberflächenspannung an der Grenze zwischen zwei Medien bestimmt wird. Kapillarwellen auf Wasseroberflächen haben oft Wellenlängen von unter einem Zentimeter.[1] Ab einer Länge von etwa 1,7 cm[3][7] gehen die Wellen langsam in sogenannte Schwerewellen über.

Grenzfall zwischen Kapillar- und Schwerewelle


Überschreitet die Länge einer Welle ein bestimmtes Maß deutlich, so überwiegt auch deutlich der Einfluss der Schwerkraft auf die Wellenform und Ausbreitung. Deutlich unterhalb dieser Grenzwellenlänge hingegen überwiegt der Einfluss der Oberflächenspannung. Die Grenzwellenlänge kann berechnet werden über:[2]

  • λₘ = 2·π·√(σ/((ρ-ρ')·g))
  • cₘ = √[2·√((ρ-ρ')·g·σ)/(ρ-ρ'))

LEGENDE

  • λₘ = die maximale Wellenlänge für Kapillarwellen

Für Kapillarwellen zwischen Wasser und Luft werden für λₘ etwa 1,7 cm[3][7] und für cₘ 0,23 m/s angegeben.[3][5] Diese Werte erhält man, wenn für für die Dichte von Luft gleich Null setzt, die Dichte von Wasser mit 1000 kg/m³ annimmt und für die Oberflächenspannung von Wasser 72,75 Millinewton wählt.

Geschwindigkeit und Wellenlänge


Größere Wasserwelle, die sogenannten Schwerewellen, werden umso schneller, je größer ihre Wellenlänge λ ist. Das ist bei den kleinen Kapillarwellen genau umgedreht: ihre Geschwindigkeit wächst mit der Oberflächenspannung des Wassers, sinkt aber mit der Wellenlänge und der Dichte. Als Formel für die Geschwindigkeit von Kapillarwellen nennt die Literatur[1]:

  • c = √(2·π·σ/(ρ·λ))

LEGENDE


Rechenbeispiel


20 °C warmes Wasser hat eine Oberflächenspannung σ von 72,75 Millinewton pro Quadratmeter oder 0,07275 N/m². Die Dichte ρ von Wasser liegt bei etwa 1000 kg/m³:

Annahmen

  • σ = 0,07275 N/m²
  • ρ = 1000 kg/m³
  • λ = 0,002 m

Einsetzen

  • v = √(2·3,14·0,07275 N/m² / (1000 kg/m³ · 0,002 m))
  • v ≈ 0,48 m/s

Einschätzung

Die Phasengeschwindigkeit, das ist die Geschwindigkeit mit der sich zum Beispiel der Wellenkamm fortbewegt, wird in der Literatur übereinstimmend mit einigen Dezimetern pro Sekunde angegeben[5], was gut zu dem hier berechneten Wert passt.

Eine Anwendung aus der Medizin


Die Zähigkeit, das heißt die Viskosität von Blut spielt in der Medizin eine wichtige Rolle. Man denke etwa an blutverdünnende Medikamente für Patienten mit einer Herzklappe. Auch spielt die Zähigkeit des Blutes eine Rolle bei der Entstehung von einem Herzinfarkt. Die Zähigkeit des Blutes zu messen ist aber nicht ganz einfach. Eine von mehreren Möglichkeiten ist es, die Zähigkeit indirekt über die sogenannte Phasengeschwindigkeit der Kapillarwellen von Blut- oder Blutplasma zu messen. Kennt man die diese Phasengeschwindigkeit, kann man über Formeln rückwärts auf die Zähigkeit schließen. Die Geschwindigkeit der Kapillarwellen war dann eine sogenannte Proxy-Variable ↗

Fußnoten


  • [1] "Kapillarwellen auf Wasser (Wasserwellen) besitzen üblicherweise Wellenlängen im Bereich einiger Millimeter und entstehen z. B. bei schwachen Winden auf sonst ruhiger Wasseroberfläche." In: Spektrum Lexikon der Physik. 6 Bände. Greulich, Walter (Hrsg.) Spektrum Akademischer Verlag. Heidelberg, Berlin. 1998-2000. Dort der Artikel "Kapillarwelle". Online: https://www.spektrum.de/lexikon/physik/kapillarwellen/7789
  • [2] Lamb, H. (1994). Hydrodynamics (6th ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9. Die zwei Formeln zum Grenzfall zwischen Schwere- und Kapillarwellen finden sich dort auf den Seiten 458 bis 460. Zitiert nach dem englischsprachigen Artikel zu "Capillary wave", Wikipedia. Stand 1. März 2025. Online: https://en.wikipedia.org/wiki/Capillary_wave
  • [4] "Wave tank measurements on wind driven capillary waves were performed. The height, slope, and frequency content of the capillary waves were measured. The wave heights (trough to crest) were found to be in the 0.06–8.8-mm range for wind speeds in the 2.2–7.6-m/sec range. The distribution of frequencies (wavelengths) depends on wind speed, with more higher frequency waves occurring at higher wind speeds." In: Lloyd C. Bobb, Gerald Ferguson, and Michael Rankin, "Capillary wave measurements," Appl. Opt. 18, 1167-1171 (1979). Online: https://opg.optica.org/ao/abstract.cfm?URI=ao-18-8-1167
  • [5] "The critical wavelength λc is found to be 17.25 mm and the associated minimum phase velocity Cpmin is 0.231 m/s." In: Liu, Hsiao-Chuan & Kijanka, Piotr & Urban, Matthew. (2020). Optical coherence tomography for evaluating capillary waves in blood and plasma. Biomedical Optics Express. 11. 10.1364/BOE.382819.
  • [6] Dass man über die Geschwindigkeit von Kapillarwellen auf die Zähigkeit von Blut schließen kann wird in einem wissenschaftlichen Fachartikel beschrieben: "we propose that OCT would be a promising tool to estimate phase velocities of capillary waves induced with acoustic radiation force in fluids. In theory, phase velocities of capillary waves are associated with fluid depth, gravity, surface tension, viscosity, and fluid density." Und: "Phase velocities of capillary waves from theoretical calculations were compared with our experimental results." In: Liu, Hsiao-Chuan & Kijanka, Piotr & Urban, Matthew. (2020). Optical coherence tomography for evaluating capillary waves in blood and plasma. Biomedical Optics Express. 11. 10.1364/BOE.382819.