Basiswissen

f(x)=4x³-3x²+4x-22 wird zu f'(x)=12x²-6x+4: ganzrational nennt man zum Beispiel die linearen, quadratischen und kubischen Funktionen. Hier stehen Regeln und Sonderfälle zum Ableiten einer ganzrationalen Funktion.

Was heißt ganzrational?

Eine ganzrationale Funktion mindestens einen der folgenden Bestandteile enthalten,

andere Bestandteile dürfen nicht vorkommen:

a·xⁿ zum Beispiel 4x³ oder 0,5x⁹

xⁿ zum Beispiel x², x³ der x⁷

Eine reine Zahl ohne x.

x denkt man sich dabei immer als x¹.

Eine Zahl wie 4 denkt man sich als 4·x°.

Damit hat man für jedes x immer auch einen Exponenten (Hochzahl).

Diese Bestandteile dürfen nun mit plus oder minus zu einer Kette zusammengefügt werden.

Jede so entstandene Kette ist eine ganzrationale Funktion

Kurzanleitung zum Ableiten

Die Grundidee zum Ableiten ist es: man zieht den Exponenten von x als neuen Faktor vor das x. Danach macht man den Exponenten über dem x eins kleiner. Das macht man mit jedem Bestandteil der Plus- oder Minuskette. Formal lies man oft: a·xⁿ ⭢ ableiten ⭢ a·n·xⁿ⁻¹. Dazu hier einige typische Beispiele.

f(x) = 4 ⭢ ableiten ⭢ f'(x) = 0 konstante Funktion ableiten ↗

f(x) = 4x+2 ⭢ ableiten ⭢ f'(x)=4 lineare Funktion ableiten ↗

f(x) = 4x²+2x+5 ⭢ ableiten ⭢ f'(x) = 8x+2 quadratische Funktion ableiten ↗

f(x) = 4x³+2x²+5x+7 ⭢ ableiten ⭢ f'(x) = 12x²+4x+5 kubische Funktion ableiten ↗

Hintegrund: Potenzregel

Beispiel: x³ ⭢ ableiten ⭢ 3x²

Allgemein: aₙ·xⁿ ⭢ ableiten ⭢ a·n·xⁿ⁻¹

In Worten: Man zieht die Hochzahl von x als Faktor nach unten.

Dann reduziert man die Hochzahl von x um eins.

Beispiel: x hoch 14 wird abgeleitet zu 14 mal x hoch 13.

Siehe auch ableiten über Potenzregel ↗

Hintegrund: Faktorregel

Faktoren vor Termen mit x bleiben erhalten:

f(x)=4x³ ⭢ f'(x)=3·4·x² oder f'(x)=12x²

Siehe auch ableiten über Faktorregel ↗

Hintegrund: Summenregel

Nach der Summenregel kann man die Glieder einzeln ableiten.

f(x)=x³+5x²: man kann x³ und 5x² getrennt ableiten.

f(x)=x³+5x² ⭢ f'(x)=3x²+10x

Siehe auch ableiten über Summenregel ↗

Hintergrund: absolutes Glied ableiten

Als absolutes Glied bezeichnet man Zahlen ohne x.

Sie fallen beim Ableiten grundsätzlich immer weg.

Beispiel: f(x)=x²+4 ⭢ f'(x)=2x

Siehe auch absolutes Glied ableiten ↗

Weitere Beispiele

f(x) = 4x^3 + 2x^2 - 5x + 16 ⭢ f'(x) = 12x^2 + 4x - 5

f(x) = 25x³ + 3x² - 40 ⭢ f'(x) = 75x² + 6x

Siehe auch Standardableitungen ↗

Legende

^ = Hochzeichen, z. B. ist 4^2=16.

n = irgendeine natürliche Zahl

a, b f = irgendwelche Zahlen