Extrempunkte über erste Ableitung

Anleitung

Basiswissen｜ f(x) = ⅓x³-4x²+15x｜ 1. Schritt: Ableiten｜ 2. Schritt: f'(x)=0｜ 3. Schritt: einsetzen in f''(x)｜ 4. Schritt: y-Werte berechnen｜ Antwort｜ Fehlvorstellungen zu Extrempunkten｜ Alternativen?｜ Fußnoten

Basiswissen

Über f'(x); also die erste Ableitung: zu den Extrempunkten eines Funktionsgraphen gehören nur Hoch- und Tiefpunkte. Sind sie Gipfel- oder Talpunkte von einem Graphen, sind sie immer auch lokale Extrempunkte. Hier wird ein Verfahren beschreiben, wie man diese lokalen Extrempunkte rechnerisch über die ersten Ableitung f'(x) und die zweite Ableitung f''(x) bestimmt.

f(x) = ⅓x³-4x²+15x

Das ist ein kubische (hoch drei) Funktion.

An ihrem Graphen erkennt man zwei Extrempunkte:

Ein Hochpunkt liegt bei x=3 und ein Tiefpunkt bei x=5.

Diese Punkte werden jetzt rechnerisch bestimmt.

1. Schritt: Ableiten

Man hat gegeben f(x), z. B. f(x) = ⅓x³-4x²+15x

Man bildet die erste Ableitung f'(x), im Beispiel: f'(x) = x²-8x+15

Man bildet die zweite Ableitung f''(x), im Beispiel: f''(x) = 2x-8

Siehe auch erste Ableitung bilden ↗

Siehe auch zweite Ableitung bilden ↗

2. Schritt: f'(x)=0

f'(x) muss gleich 0 sein (Steigung Null).

Das nennt man oft die notwendige Bedingung ↗

Man setzt also die erste Ableitung gleich Null.

Das heißt: für f'(x) schreibt man 0.

Man löst diese Gleichung dann nach x auf (Gleichung lösen).

Die Lösungen sind die x-Werte möglicher Extrempunkte.

Im Beispiel: f'(x) = x²-8x+15, das mit 0 gleichsetzen: 0 = x²-8x+15

Hier: lösen über pq-Formel liefert zwei Lösungen: x=3 oder x=5

x=3 und x=5 sind die x-Werte aller möglichen Extrempunkte.

Jetzt wird untersucht, um welche Punktart es sich handelt.

3. Schritt: einsetzen in f''(x)

Jezt wird untersucht, zu welcher Art von Punkt die gefundenen x-Werte gehören.

Man setzt dazu jeden gefundenen x-Wert aus Schritt 2 in die zweite Ableitung f''(x) ein.

Ist f''(x) kleiner als Null, dann hat man einen Hochpunkt ↗

Ist f''(x) größer als Null, dann hat man einen Tiefpunkt ↗

Ist f''(x) gleich Null, dann hat man keinen Extrempunkt ↗

Bei f''(x) kann es ein Sattelpunkt sein oder eine zur x-Achse parallele Gerade.

Einen Extrempunkt gibt es nur, wenn gilt: f''(x)≠0

Im Beispiel: f''(x) war: f''(x) = 2x-8

Im Beispiel: f''(3) = -2 -> negativ -> also ein Hochpunkt ↗

Im Beispiel: f''(5) = +2 -> positiv -> also ein Tiefpunkt ↗

Bis jetzt haben wir nur x-Werte berechnet.

Die x-Werte nennt man auch Extremstellen ↗

Es fehlen noch die y-Werte, also die Extremwerte ↗

Dass f'(x)=0 gelten muss ist für sich alleine die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt. Die hinreichende Bedingung besteht aus zwei Teilbedingung: hinreichend ist, dass sowohl f'(x)=0 wie auch f''(x)≠0 sind.^[1] Solche zusammengesetzten Bedingungen bezeichnet man auch als kumulative Kausalität.^[2]

4. Schritt: y-Werte berechnen

Die y-Werte von Extrempunkten heißen Extremwerte.

Die Extremwerte werden jetzt noch berechnet:

Man setzt die gefundenen x-Werte in f(x) ein.

Damit findet man die y-Werte der Extrempunkte.

Im Beispiel: f(3) = 18 ⭢ HP(3|18)

Im Beispiel: f(5) ≈ 17 ⭢ TP(5|17)

Antwort

Bei (Extremstelle|Extremwert) liegt ein Hoch-/Tiefpunkt.

Im Beispiel: HP(3|18) ✔

Im Beispiel: TP(5|17) ✔

Fehlvorstellungen zu Extrempunkten

Es gibt einige falsche Vorstellungen rund um Extrempunkte in der Analysis. Diese sind hier kurz angesprochen.

a) f'(x)=0 ist eine notwendige Bedingung: nein, es ist nicht zwingend notwendig, dass die erste Ableitung an einem Extrempunkt zu Null wird, die Tangente dort also waagrecht verläuft. Das ist weder für globale noch für lokale Hoch- und Tiefpunkte zwingend nötig. Notwendig für einen Extrempunkt ist einzig und allein: es darf keine höheren oder tieferen Punkte geben. Das wird deutlich gemacht im Artikel Extrempunkt ↗

b) f''(x) <> 0 ist eine hinreichende Bedingung: auch das ist falsch. Ist die zweite Ableitung an einer Stelle eines Graphen ungleich 0 heißt dass nur, dass der Graph dort eine von 0 abweichende Krümmung hat. Damit ist keineswegs sichergestellt, dass dort auch ein Extrempunkt vorliegt. Hinreichend meint aber genau, dass man dann völlig sicher sein kann. Ein einfaches Beispiel ist f(x)=x³. An der Stelle x=4 hat die zweite Ableitung f''(4) den Wert 24. Dennoch liegt dort weder ein Hoch- noch ein Tiefpunkt. Richtig ist: für eine stetige und differenzierbare Funktion gilt, dass f''(x) <> 0 UND f'(x)=0 logisch verbunden immer sicher stellt, dass es dort einen lokalen Extrempunkt gibt. Siehe auch logisches UND ↗

Alternativen?

Es gibt noch andere Möglichkeiten, Extrempunkte zu bestimmen. Bei einer quadratischen Funktion zum Beispiel ist der Extrempunkt immer auch der Scheitelpunkt. Daneben gibt es auch graphische Verfahren. Für Alternative Methoden siehe unter Extrempunkte bestimmen ↗

Fußnoten

[1] Das Lehrbuch Lambacher Schweizer definiert: "Notwendige Bedingung für Extremstellen:f'(x)=0" und "Hinreichende Bedingung für Extremstellen: f''(x)=0 und f''(x)≠0". In: Lambacher Schweizer. Mathematik. Qualifikationsphase. Grundkurs. Nordrhein-Westfalen. 1. Auflage. Ernst Klett Verlag. Stuttgart. 2015. ISBN: 978-3-12-735451-5. Dort auf Seite 19. Die Idee, dass mehrere Einzelbedingungen gemeinsam gelten müssen, wie bei der hinreichenden Bedingung, bezeichnet man als kumulative Kausalität ↗

[2] Kumulativ heißt so viel wie aufaddiert, zusammengehäuft. Die Idee einer kumulativen Kausalität spielt eine große Rolle in den Rechtswissenschaften. Siehe mehr unter kumulative Kausalität ↗