Basiswissen

Was sind Hochpunkte?

• Hochpunkte sind Punkte auf einem Funktionsgraphen.
  

• Alle Nachbarpunkte sind niedriger als der Hochpunkt.
  

• Niedriger heißt: die y-Werte der Punkte sind kleiner.
  

• Der x-Wert des HP heißt Hochstelle ↗
  

• Der y-Wert des HP heißt Hochwert ↗
  

• Beide zusammen sind der Hochpunkt ↗
  

• Definition unter Hochpunkt ↗
  

Was meint "bestimmen"?

• Bestimmen meint: irgendwie herausfinden.
  

• Das kann rechnerisch, graphisch, über Raten oder sonstwie sein.
  

• Bestimmt werden die x- und y-Werte des Hochpunktes.
  

Graphisch

• Erzeuge irgendwie einen Graphen.
  

• Finde Punkte die wie Gipfel von einem Berg aussehen ...
  

• Bestimme den x- und y-Wert durch ablesen.
  

• Schreibe HP (x-Wert|y-Wert), z. B.: HP (2|4)
  

• Siehe auch 2D-Punkt aus Koordinatensystem ↗
  

Über Ableiten

• Eine ausführliche Anleitung steht auf Hochpunkte über Analysis ↗
  

• Hier folgt eine Kurzanleitung ohne viele Erklärungen:
  

• Man hat eine Funktionsgleich, wie etwa f(x) = -x²+8x
  

• Bilde f'(x), das gibt hier: f'(x) = -2x+8
  

• Bilde f''(x), das gibt hier: f''(x) = -2
  

• Setze f'(x) gleich 0, das gibt hier: 0 = -2x+8
  

• Löse diese Gleichung nach x auf, das gibt hier: x=4.
  

• Diese Zahl ist der x-Wert eines möglichen Hochpunktes.
  

• Setze diesen x-Wert in f''(x) ein, das gibt hier f''(4)=-2
  

• Wenn f''(x) 0 oder eine positive Zahl ist, dann gibt es keinen Hochpunkt.
  

• Wenn f''(x) eine negative Zahl gibt, dann gibt es einen Hochpunkt.
  

• Setzte den x-Wert des Hochpunkte, in f(x), das gibt f(4)=16.
  

• Das ist dann der y-Wert des Hochpunktes.
  

• Schreibe: HP (x-Wert | y-Wert)
  

• Hier gibt das den HP (4|16).
  

Bei Parabeln: Scheitelpunkt

• Parabel ist der Name des Graphen einer quadratischen Funktion.
  

• Ist die Parabel nach unten geöffnet, hat sie immer einen Hochpunkt.
  

• Der Hochpunkt einer Parabel heißt auch Scheitelpunkt.
  

• Mehr unter Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen ↗